Beschreibe Epsilon Kugeln von Metriken

26.05.2015, 17:05

Jack13

Beschreibe Epsilon Kugeln von Metriken

Meine Frage:
Sei C die Menge der Komplexen Zahlen gegeben und d die Standardmetrik der komplexen Zahlen.
Wie sehen die Epsilon Kugeln im metrischen Raum von (C,d) und (C,d*) mit
$\begin{eqnarray*} d=\frac{d(z,w)}{1+d(z,w)} <br /> d*=min{(1,d(z,w))} \end{eqnarray*}$ .

Kennt jemand eine gute Seite auf der dies erklärt wird?

Meine Ideen:
Laut Definition ist vorausgesetzt, dass (C,d) metrischer Raum, bel. p Element x und epsilon positiv. $\begin{eqnarray*} K(p,e):= (x\in X| d(p,x)<e) \end{eqnarray*}$

Ich möchte mir das direkt bildlich ausmalen- was wohl ein Fehler ist.

Sei e>0 beliebig. $\begin{eqnarray*} d*(p,z)= min{[1,d(p,z)]}<e <=> min{[1,d(p,z)]} = min {[1,| p-z|]}< e \end{eqnarray*}$
und für die andere Metrik $\begin{eqnarray*} d=\frac{d(z,p)}{1+d(z,p)} = \frac{d(z,p)}{1+d(z,p)}=|z-p|/(1+|(z-p)<e| \end{eqnarray*}$
Richtig? Wie geh ich vor, damit ich es zeichnen kann.

26.05.2015, 17:11

HAL 9000

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fragwürdige Symbolik - Verwechslungsgefahr mit ursprünglichen d

Zitat:

Original von Jack13
Meine Frage:
Sei C die Menge der Komplexen Zahlen gegeben und d die Standardmetrik der komplexen Zahlen.
Wie sehen die Epsilon Kugeln im metrischen Raum von (C,d) und (C,d*) mit
$\begin{eqnarray*} d=\frac{d(z,w)}{1+d(z,w)} \end{eqnarray*}$ .

Du definierst $\begin{align*} d \end{align*}$ mit Hilfe von $\begin{align*} d \end{align*}$ ? geschockt

Sollte da nicht eher

$\begin{align*} d'(z,w) := \frac{d(z,w)}{1+d(z,w)} \end{align*}$

stehen o.ä. ? verwirrt

26.05.2015, 17:39

Leopold

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HAL 9000 hat zwar bereits geantwortet. Weil ich aber meinen Beitrag schon verfaßt hatte, bevor ich wegen einer anderen Angelegenheit unterbrochen wurde, erlaube ich mir, ihn jetzt hereinzustellen.

Deine Bezeichnungen sind chaotisch. Im einleitenden Satz sagst du, $\begin{align*} d \end{align*}$ sei die Standardmetrik, um dann aber gleich darauf denselben Bezeichner für eine neue Metrik zu verwenden. So geht das nicht.

Bringen wir also erst einmal Ordnung in das Chaos.
$\begin{align*} d \end{align*}$ sei die Standardmetrik, also $\begin{align*} d(z,w) = \left| z - w \right| \end{align*}$ . Jetzt definiert man eine neue Metrik

$\begin{align*} d_1(z,w) = \frac{d(z,w)}{1 + d(z,w)} \end{align*}$

Jetzt kann man sich fragen, wie eine $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Umgebung um $\begin{align*} w \end{align*}$ bezüglich $\begin{align*} d_1 \end{align*}$ aussieht. Sie besteht aus allen Punkten $\begin{align*} z \end{align*}$ mit

$\begin{align*} d_1(z,w) < \varepsilon \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{d(z,w)}{1 + d(z,w)} < \varepsilon \ \ \Leftrightarrow \ \ (1 - \varepsilon) \cdot d(z,w) < \varepsilon \end{align*}$

Mache jetzt eine Fallunterscheidung: $\begin{align*} \varepsilon \geq 1 \end{align*}$ oder $\begin{align*} 0 < \varepsilon < 1 \end{align*}$ .

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