Zu jedem alpha aus (0, lambda(E)) ex. ein x aus R mit lamda((-infty,0)capE)=alpha

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Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Zu jedem alpha aus (0, lambda(E)) ex. ein x aus R mit lamda((-infty,0)capE)=alpha
Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Sei das Lebesguemaß auf und eine Lebesgue-messbare Menge mit .
Zeigen Sie, dass zu jedem eine Zahl existiert mit
.


Meine Ideen:
Ich habe leider überhaupt keinen Ansatz und weiß nicht, wie ich das zeigen kann. Ich habe mir schon Bildchen gemalt und verstehe auch,was ich in der Aufgabe machen soll. Deswegen wäre ich sehr froh über jegliche Tipps, die mir dazu weiterhelfen würden. smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ein Tipp: Zeige, dass eine stetige Funktion definiert.
Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob ich das benutzen darf, da wir in der Vorlesung noch nicht die Definition von dem Lebesguemaß über das Integral der Indikatorfunktion hatten...
Oder hattest du damit was anderes gemeint, weil ich dachte, dass wenn man das gezeigt hat, man dann mit dem Zwischenwertsatz die Behauptung folgern könnte?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig. Das würde dann mit dem Zwischenwertsatz gehen.

Habt ihr das Lebesgueintegral denn überhaupt schon eingeführt? Denn die von dir angesprochene Eigenschaft wäre dann einfach die Definition für einfache Funktionen. Die charakteristische Funktion einer messbaren Menge ist schließlich eine einfache Funktion.
Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das Lebesgueintegral hatten wir noch gar nicht.
Wir haben zuerst das lebesguesche Prämaß über dem Ring der Figuren definiert, dann dazu das äußere Lebesgue Maß und dann durch die eindeutige Fortsetzung auf die Borel-sigma-Algebra über R das Lebesgue Maß.
Mit Integralen hatten wir also noch gar nichts.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, du kannst auch direkt die Stetigkeit von nachweisen, indem du links- und rechtsseitige Folgenstetigkeit zeigst und Stetigkeit des Maßes von oben und unten benutzt.
 
 
Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, da werde ich mich mal ransetzen und probieren, ob ich das hinbekomme smile
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