Integral bestimmen

27.05.2015, 18:36

IchBinRatlos

Integral bestimmen

Hi,

ich habe bei diesem Integral Probleme:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{4x}{(x^2+1)^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Durch Vereinfachen bin ich jetzt schon so weit gekommen:

$\begin{eqnarray*} 4\cdot \int_{0}^{1} \! \frac{1}{x^4+2x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Aber jetzt bin ich komplett ratlos Hammer

Help is appreciated!

27.05.2015, 18:42

grosserloewe

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RE: Integral bestimmen (ja ich bin dumm)
Wink

Die Substitution

$\begin{eqnarray*} z= x^{2} +1 \end{eqnarray*}$

führt zum Ziel.

27.05.2015, 22:29

IchBinRatlos

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Hallo,
vielen dank.

Also ich bin mal gespannt ob das so stimmt:

$\begin{eqnarray*} z= x^{2}+1 \Leftrightarrow x=\sqrt{z-1} \\ \frac{dx}{dz}=\frac{1}{2\sqrt{z-1} } \Leftrightarrow dx=\frac{1}{2\sqrt{z-1} } \cdot dz \\ x=0...1\Leftrightarrow z=1...2 \\ \int_{1}^{2} \! \frac{4\sqrt{z-1} }{z^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{z-1} } \, dx = 2\int_{1}^{2} \! \frac{1}{z^2}dz \, dx \\ =2\left[-\frac{1}{z} \right]_{1}^{2} =1 \end{eqnarray*}$

Was mich noch nervt ist dass es in der Musterlösung wie folgt steht. Normal schreiben die wenn mann substituiert nochmal hin. Heißt dass es gibt einen Trick aus dem man dass ganz schnell sieht??

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{4x}{(x^2+1)^2} \, dx = \left[\frac{-2}{x^2+1} \right]_{0}^{1} =-2+1=0 \end{eqnarray*}$

27.05.2015, 22:31

IchBinRatlos

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Da soll am Ende natürlich stehen: -1+2=1

27.05.2015, 23:10

grosserloewe

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Das Ergebnis stimmt. Einen Trick sehe ich nicht.

Es ist :

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} =2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{dz}{2x} \end{eqnarray*}$

Wenn Du das in den Integranden einsetzt, kürzt sich das x heraus und Du hast

$\begin{eqnarray*} 2 \int \frac{1}{z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

usw, der Rest ist ja dann klar.

27.05.2015, 23:15

wopi

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Gibt es: bei Termen der Form u' * f(u) ( u ist irgendein Term mit x) ist eine Stammfunktion des Terms einfach die Stammfunktion F(u)

In deinem Beispiel 4x / (x^2+1)^2

[u=x^2+1 \ u' = 4x \ f(u) = 1/u^2 ]

Jetzt musst du nur noch die Stammfunktion von 1/u^2 bestimmen, was ja auch bei der Substitution passiert..

Kann man bei etwas Übung tatsächlich direkt sehen.

28.05.2015, 20:14

IchBinRatlos

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Alles klar, vielen Dank! Habe jetzt noch ein Problemchen:

Diesmal unbestimmtes Integral/Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sin(x)\cdot cos(x) \, dx = \frac{1}{2}\cdot \int_{}^{} \! 2\cdot sin(x)\cdot cos(x) \, dx \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \int_{}^{} \! sin(2x) \, dx \\...=-\frac{1}{4}cos(2x) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

28.05.2015, 20:49

grosserloewe

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ja

Dazu brauchst Du das Ergebnis nur 1 Mal ableiten, dann kannst Du das selbst prüfen
(als Hinweis gedacht)

smile

28.05.2015, 20:49

Hippocampus

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Zu langsam Wink

Integrationskonstante übrigens nicht vergessen!

28.05.2015, 22:16

IchBinRatlos

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Danke!

Mich wundert nur dass in der Musterlösung folgende Stammfunktion steht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot sin^2(x) + c,c\in R \end{eqnarray*}$

Heißt das die beiden Funktionen sind äquivalent?
Wie kommt man auf die andere Stammfunktion?

28.05.2015, 22:24

grosserloewe

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Gerade bei Integralen mit trig, Funktionen gibt es oft verschiedene Ergebnisse,
die aber letzlich alle gleich sind.

In diesem Fall lautet die Substitution

z= sin(x)

28.05.2015, 22:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von IchBinRatlos
Heißt das die beiden Funktionen sind äquivalent?

Additionstheoreme liefern den Zusammenhang $\begin{align*} \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2} \end{align*}$ . Damit ist

$\begin{align*} \frac{1}{2}\sin^2(x) + c = -\frac{1}{4}\cos(2x) + \frac{1}{4} +c = -\frac{1}{4}\cos(2x) + c' \end{align*}$

mit einer anderen Integrationskonstante $\begin{align*} c' := c+\frac{1}{4} \end{align*}$ . Also alles in Ordnung.

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