Vektorberechnung mit fehlendem Koordinatenpunkt

28.05.2015, 08:39

SycSin

Vektorberechnung mit fehlendem Koordinatenpunkt

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe eine 2-D Vektor-Aufgabe zu lösen, in der es sich um ein gleichschenkeliges Dreieck mit den Eckpunkten A(27/6) B(-17/28) C(3/yc) handelt. Hierbei ist die Y-Koordinate des Punktes C unbekannt.
Die Aufgabe lautet nur: "Berechnen Sie die fehlende Koordinate."

Meine Ideen:
Ich habe bereits überlegt dies mit dem Satz des Pytagoras zu lösen wobei ja beide Vektoren bis C die selbe Länge haben und dann diese mit dem Gleichsetzungsverfahren gleichzusetzen um y auszurechnen. Komme aber leider nicht mehr weiter.

Danke im Voraus,
Sin

28.05.2015, 08:46

Bjoern1982

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Zitat:

mit dem Satz des Pytagoras zu lösen

An welcher Stelle genau ? Rechte Winkel sind hier ja nicht gefordert oder meinst beim Berechnen der Seitenlängen, also dem Betrag eines Vektors ?

Zitat:

wobei ja beide Vektoren bis C die selbe Länge haben

Das ist jetzt auch die Frage, in der Aufgabe steht ja nur allgemein, dass Gleichschenkligkeit vorliegen soll, aber nicht explizit welche beiden Seiten gleichlang sein sollen.
Da hat man dann wohl die Wahl...

Poste doch mal deinen Rechenweg, dann kann man da mehr zu sagen.

28.05.2015, 09:43

SycSin

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Zitat:

Die komplette Angabe lautet:

Das Dreieck ABC[A(27/6), B(-17/28), C(3/yc)] ist gleichschenkelig mit der Spitze C.

Zitat:

Poste doch mal deinen Rechenweg, dann kann man da mehr zu sagen.

Habe erstmal den Ortsvektor vom Mittelpunkt (zwischen A und B) gegründet:

$\begin{eqnarray*} OM_{AB} = \frac{OA + OB}{2} = \frac{\begin{pmatrix} 27 \\ 6 \end{pmatrix} {+\begin{pmatrix} -17 \\ 28 \end{pmatrix}}}{2} = \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ 34 \end{pmatrix} }{2} = \begin{pmatrix} 5 \\ 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann den Vektor AB berechnet:

$\begin{eqnarray*} AB = \begin{pmatrix} Bx \\By \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} Ax \\Ay \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -17 \\18 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 27 \\6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -44\\22 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danach den Betrag von AB:

$\begin{eqnarray*} |AB| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{-44^{2} + 22^{2}} = \sqrt{1936 + 484} = \sqrt{2420} \end{eqnarray*}$

Anschließend wollte ich den Normalvektor daraus bilden:

$\begin{eqnarray*} n_L = \begin{pmatrix} -AB_y \\AB_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -22 \\-44 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_R = \begin{pmatrix} AB_y \\-AB_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \\44 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wollte ich den Einheitsvektor bilden:

$\begin{eqnarray*} n_{L0} = \frac{n_L}{|AB|} = \frac{\begin{pmatrix} -22 \\-44 \end{pmatrix}}{\sqrt{2420}} = \begin{pmatrix} \frac{-22}{\sqrt{2420}} \\\frac{-44}{\sqrt{2420}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_{R0} = \frac{n_R}{|AB|} = \frac{\begin{pmatrix} 22 \\44 \end{pmatrix}}{\sqrt{2420}} = \begin{pmatrix} \frac{22}{\sqrt{2420}} \\\frac{44}{\sqrt{2420}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Weiter bin ich leider nicht gekommen, habe mir hier dann überlegt mit dem Satz des Pythagoras den Vektor $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ zu berechnen nur geht das schwer ohne gegebene Höhe unglücklich

Tut mir wirklich leid, dass das mit dem Antworten so lange gebraucht hat, ich hab mich ewig mit dem Formatieren der Formeln beschäftigen müssen. Big Laugh

28.05.2015, 10:00

Bjoern1982

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Erstmal ein großes Lob für dein Engagement, dich mit dem Formeleditor zu befassen und so ausführlich zu antworten (das macht gewiss nicht jeder). Freude

Mit \vec{...} bekommst du übrigens auch noch die Vektorpfeile über die ganzen Buchstaben. Wink

Es gibt hier zahlreiche mögliche Herangehensweisen, ich greife aber natürlich deine mal auf:

Es ist in der Tat sinnvoll hier den Mittelpunkt M von AB, so wie auch einen passenden Normalenvektor zu AB zu bestimmen. smile

Die Einheitsvektoren brauchst du jetzt aber eigentlich nicht.
Ein möglicher Gedanke wäre es nun, dass man eine Gerade n durch M in Richtung deines Normalenvektors bildet (Normale) und jetzt einfach den Punkt dieser Geraden sucht, der als x-Koordinate den Wert 3 besitzt.
Das geht damit dann eigentlich ruck zuck. Augenzwinkern

28.05.2015, 10:23

SycSin

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Dankeschön für die hilfreiche, schnelle Antwort!
Ich werde es gleich mal ausprobieren! Augenzwinkern

28.05.2015, 10:31

Bjoern1982

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Viel Erfolg. Wink

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