Differentialgleichung mit Substitution

28.05.2015, 10:03

Chaotlang

Differentialgleichung mit Substitution

Ich versuche folgende DGL zu lösen:

$\begin{eqnarray*} y'=(x+y+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} u=x+y+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=u-x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=u'-1 \end{eqnarray*}$

Neue Gleichung:

$\begin{eqnarray*} u^{2} =u'-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u^{2} +1=u' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! f(0) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{u} \! f(\frac{1}{u^{2}+1 } ) \, du \end{eqnarray*}$

Dafür bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} 0=\arctan(u) +C \end{eqnarray*}$

Nun wieder Rücksubstituieren und jetzt? wie bekomme ich das y aus dem Arctan?

28.05.2015, 10:38

grosserloewe

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RE: Differentialgleichung mit Substitution
Wink

ich erhalte:

arc tan(u)=x+c

u=tan(x+c)

x+y+1= tan(x+c)

y= ...

28.05.2015, 10:44

HAL 9000

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Anmerkung zur Symbolik

Zitat:

Original von Chaotlang
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! f(0) \, dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{u} \! f(\frac{1}{u^{2}+1 } ) \, du \end{eqnarray*}$

Weil ich das schon oft hier im Board erlebt habe, und es wohl z.T. der Vorgabe durch den boardeigenen LaTeX-Formeleditor geschuldet ist:

Das $\begin{align*} f \end{align*}$ hat hier NICHTS zu suchen!

Es heißt einfach $\begin{align*} \int \frac{1}{u^2+1} ~ \dd u \end{align*}$ statt des falschen $\begin{align*} \int f\left( \frac{1}{u^2+1} \right) ~ \dd u \end{align*}$ . unglücklich

28.05.2015, 11:04

Chaotlang

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RE: Differentialgleichung mit Substitution
Ja, auf der linken Seite war wohl nicht 0, sondern 1, was integriert x+C gibt. Das ist soweit klar, aber wie komme ich von arc tan(u)=x+c auf u=tan(x+c)? Bzw wie heisst diese Umformung?

28.05.2015, 12:11

grosserloewe

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RE: Differentialgleichung mit Substitution
Wink

tan und arc tan heben sich einander auf. (Umkehrfunktion)
Du setzt deswegen auf beiden Seiten der Gleichung den Tangens an.
Dann entsteht diese Gleichung.

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Differentialgleichung mit Substitution

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