Wachstumsrate r(t) bestimmen

28.05.2015, 19:36

Dominik1234

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Wachstumsrate r(t) bestimmen

Meine Frage:

Hi, kann jemand kurz drüber schauen ob alles hinkommt was ich gerechnet habe?
Der Prof. hat uns die Aufgabe geschenkt und gemeint die kommt genau so in der Prüfung dran^^

Gegeben ist die Funktion f(t) = $\begin{eqnarray*} \frac{t²(t-1)³}{(t+1)^4} \end{eqnarray*}$

a) bestimmen Sie die Nullstellen von f(t)

b)bestimmen sie die Wachstumsrate r(t) in möglichst einfacher Form

c) bestimmen sie die Nullstellen von r(t)

Meine Ideen:

a) zu $\begin{eqnarray*} \frac{t^5}{(t+1)^4} - \frac{t²}{(t+1)^4} \end{eqnarray*}$ umformen, 0 setzen, dann bekomme ich die x werte 0 und 1 raus

NST: (0,0) , (1,0)

b) r(t) = d/dt ln(f(t))

f(t) mit ln multipliziert = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{t} -\frac{4}{t+1} - \frac{2}{t} -\frac{4}{t+1} = \frac{3}{t} -\frac{8}{t+1} \end{eqnarray*}$

c) einfach nach t auflösen dann bekommt man die NST: (3/5 , 0 )

bitte einmal kurz drüber schauen bitte, bin mir recht unsicher gerade mit Aufgabe b) und c) hängt ja davon ab .. smile

smile

28.05.2015, 20:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dominik1234
a) zu $\begin{eqnarray*} \frac{t^5}{(t+1)^4} - \frac{t²}{(t+1)^4} \end{eqnarray*}$ umformen

Du bist also der Meinung, dass

$\begin{align*} \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \stackrel{?}{=} \frac{t^5}{(t+1)^4} - \frac{t^2}{(t+1)^4} \end{align*}$

gilt? Das würde ich an deiner Stelle nochmal überdenken. unglücklich

unglücklich

----------------------

Die Fehlerhäufung, die dann zu

Zitat:

Original von Dominik1234
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{t} -\frac{4}{t+1} - \frac{2}{t} -\frac{4}{t+1} \end{eqnarray*}$

führt, ist schon grauenhaft zu nennen: Falsches Logarithmengesetz (Differenz), vergessene Klammern beim Minus ... aber ist sowieso egal, da es auf der falschen Differenzzerlegung von oben basiert. Mit einer derartigen Fehlerkette ist es schon ein extrem unwahrscheinlicher Zufall, dass was richtiges rauskommt. unglücklich

unglücklich

29.05.2015, 00:22

Dominik1234

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Die Ergebnisse stimmen alle obwohl die Rechenwege falsch sind? verwirrt

verwirrt

also zur a)

habe wenn ich meine umformung anschaue habe ich ja zuerst die potenz aufgelöst anstatt der klammer daher ist es falsch, eine richtige umformung wäre wohl einfach das t² als faktor vor den bruch zu schreiben, dann sieht man beim 0 setzen wieder direkt, dass (0,0) eine lösung ist und kann dann den Term (t-1)³ betrachten wodurch man auf die zweite NST (1,0) kommt .. richtig?

zur b)

Hier brauche ich nun aber Hilfe, kann nicht wirklich gut mit logarithmus umgehen, meist forme ich nur um weil ich es schonmal irgendwo gesehen habe so..

als erstes mal: ist es schlau die gleichung so zu lassen wie sie momentan dasteht, sprich

$\begin{eqnarray*} t^2 * \frac{(t-1)³}{(t+1)^4} \end{eqnarray*}$

denn wenn ich das alles mit ln() multipliziere komme ich beim "auflösen" nicht weiter als $\begin{eqnarray*} 2*ln(t) * \frac{3}{t-1} - \frac{4}{t+1} \end{eqnarray*}$ falls das überhaupt stimmt ?

29.05.2015, 07:03

HAL 9000

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Um es auf den Punkt zu bringen: Bei a) hast du einfach $\begin{align*} (t-1)^3 \end{align*}$ zu $\begin{align*} t^3-1 \end{align*}$ gemacht. Das ist natürlich falsch, auch wenn beide dieselbe reelle Nullstelle 1 haben.

Bei b) wird der Logarithmus ln() auf den Term angewandt - das hat nicht das geringste mit "multiplizieren" zu tun. unglücklich

unglücklich

Da kommt für $\begin{align*} t>1 \end{align*}$ zunächst raus gemäß Logarithmenregeln

$\begin{align*} \ln\left( \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right) = 2\ln(t) + 3\ln(t-1) - 4\ln(t+1) \end{align*}$ ,

und dann kann man ableiten

$\begin{align*} \frac{\dd}{\dd t} \ln\left( \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right) = \frac{2}{t} + \frac{3}{t-1} - \frac{4}{t+1} \end{align*}$ .

29.05.2015, 14:52

Dominik1234

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a) ja eben, das meint ich damit dass ich die potenz zuerst aufgelöst hab und 1³ wäre ja dann wieder 1 gewesen ; naja hauptsache jetzt stimmt es smile

smile

b) ahh okay.. naja da merkt man halt dass einem die grundvorraussetzungen aus der schule nicht mehr bekannt sind..

wenn man den logarithmus anwendet werden also brüche zu differenzen und multiplikationen zu additionen?

ableitung ist dann wiederrum verständlich für mich also auf zur c), habe die jetzt mal gelöst hoffe es stimmt.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{t} + \frac{3}{t-1} - \frac{4}{t+1} =0 // *t(t-1)(t+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(t-1)(t+1) + 3t(t+1) - 4t(t-1) = 0 // vereinfachen<br /> <br /> t^2+7t-2 = 0 //p-q-Formel \end{eqnarray*}$

t1 und t2 sind identisch, daher einzige NST: $\begin{eqnarray*} ( \frac{-7+\sqrt{57} }{2} , 0) \end{eqnarray*}$

erstens: stimmt das jetzt so? hab mal die überprüfung gemacht und es oben in r(t) eingesetzt da kommt zumindest schonmal 0 raus

29.05.2015, 14:57

HAL 9000

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Du hast jetzt Nullstellen der quadratischen Gleichung - aber sind das auch Nullstellen der Gleichung $\begin{align*} \frac{\dd}{\dd t} \ln\left( \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right) = 0 \end{align*}$ ? verwirrt

verwirrt

Ich erinnere mal an die Grundvoraussetzung der Umformung, bzw. überhaupt der Anwendung des Logarithmus:

Zitat:

Original von HAL 9000
Da kommt für $\begin{align*} t>1 \end{align*}$ ...

Für $\begin{align*} t\leq 1 \end{align*}$ ist $\begin{align*} \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4}\leq 0 \end{align*}$ , da ist die Anwendung des Logarithmus im Reellen gar nicht gestattet. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Dominik1234
t1 und t2 sind identisch, daher einzige NST: $\begin{eqnarray*} ( \frac{-7+\sqrt{57} }{2} , 0) \end{eqnarray*}$

Nix ist da identisch, rein formal kommen erstmal die beiden unterschiedlichen reellen Nullstellen $\begin{align*} \frac{-7\pm \sqrt{57}}{2} \end{align*}$ heraus.

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29.05.2015, 15:07

Dominik1234

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Darauf habe ich jetzt natürlich mal wieder gar nicht geachtet, dass t > 1 sein muss..

Wie packe ich das Problem denn jetzt an mit den Nullstellen von $\begin{eqnarray*} r(t) = \frac{2}{t} + \frac{3}{t-1} - \frac{4}{t+1} \end{eqnarray*}$ wenn ich durch 0 setzen des terms auf eine lösung komme, die aber kleiner 1 ist ?

--> ja habe grade gesehn, mit - im Term ist es etwa -7,275 und mit + etwa 0,275

29.05.2015, 15:13

HAL 9000

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Dann sieht es wohl so aus, dass $\begin{align*} r(t) \end{align*}$ keine Nullstelle $\begin{align*} t>1 \end{align*}$ hat. Mit etwas "Auge" sieht man auch $\begin{align*} \frac{3}{t-1}>\frac{3}{t} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \frac{4}{t+1}<\frac{4}{t} \end{align*}$ und damit die Abschätzung

$\begin{align*} r(t) > \frac{2}{t} + \frac{3}{t} - \frac{4}{t} = \frac{1}{t} > 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t>1 \end{align*}$ .

P.S.: Eine genauere Analyse offenbart, dass $\begin{align*} \frac{2}{t} + \frac{3}{t-1} - \frac{4}{t+1} \end{align*}$ für $\begin{align*} t<1,t\neq 0,t\neq -1 \end{align*}$ nicht die Ableitung der dort ja gar nicht definierten Funktion $\begin{align*} \ln\left( \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right) \end{align*}$ ist, sondern von

$\begin{align*} \ln\left| \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right| = \ln\left( \frac{t^2(1-t)^3}{(t+1)^4} \right) \end{align*}$ .

29.05.2015, 15:28

Dominik1234

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Was mich nun aber immernoch stutzig macht: wenn ich mir den graphen zeichnen lasse ( kann ich in der prüfung zwar nicht da nur einfache TR genutzt werden dürfen ) habe ich eine Nullstelle zwischen -1 und 1, in der Wertetabelle steht aber genau das was du noch hinzugefügt hast, nämlich, ein "n.d." zwischen -1 und 1.

Ist es dann wirklich eine korrekte Lösung auf die Frage c) zu schreiben " r(t) hat keine NST t>1" wenn mir der graph ja eigentlich eine 0 stelle zeigt, die nunmal eben kleiner 1 ist ?

Ich könnte ja anstatt d/dt ln(f(t)) die formel f'(t)/f(x) nutzen und erhalte ebenfalls etwa -7,275 und 0,275 für x

dann hätte ich ja die vorgabe t>1 nicht und es wären tatsächlich Nullstellen ?

29.05.2015, 15:49

Dominik1234

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Zitat:

Ich könnte ja anstatt d/dt ln(f(t)) die formel f'(t)/f(x) nutzen und erhalte ebenfalls etwa -7,275 und 0,275 für x

dann hätte ich ja die vorgabe t>1 nicht und es wären tatsächlich Nullstellen ?

habe das nicht überprüft es ist nur eine idee

29.05.2015, 16:14

Dominik1234

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Zitat:

Original von Dominik1234

Zitat:

Ich könnte ja anstatt d/dt ln(f(t)) die formel f'(t)/f(x) nutzen und erhalte ebenfalls etwa -7,275 und 0,275 für x

dann hätte ich ja die vorgabe t>1 nicht und es wären tatsächlich Nullstellen ?

habe das nicht überprüft es ist nur eine idee

okay habe es überprüft, wenn ich es nicht mittels der Formel f'(t)/f(t) löse bekomme ich tatsächlich -7,275 , 0 , 0,275 und 1 als Nullstellen raus.. was ist denn dann nun das richtige ergebnis auf die frage c) ?

29.05.2015, 16:31

HAL 9000

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Wenn du meine Antworten durchliest (durchgelesen hättest), dann müsstest du eigentlich wissen, dass ich so ziemlich jeden Aspekt dieser Nachfragen bereits betrachtet habe. Aber nochmal deutlich, in schreienden Großbuchstaben:

FÜR $\begin{align*} t\leq 1 \end{align*}$ IST $\begin{align*} \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4}\leq 0 \end{align*}$ , DA IST DIE ANWENDUNG DES LOGARITHMUS IM REELLEN GAR NICHT GESTATTET.

Damit ist sie auch über "logarithmische Differentiation" nicht plötzlich für die Ableitung wieder gestattet. Was tatsächlich dieser Term für $\begin{align*} t\leq 1 \end{align*}$ aussagt, hatte ich ebenfalls schon ausgeführt:

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Eine genauere Analyse offenbart, dass $\begin{align*} \frac{2}{t} + \frac{3}{t-1} - \frac{4}{t+1} \end{align*}$ für $\begin{align*} t<1,t\neq 0,t\neq -1 \end{align*}$ nicht die Ableitung der dort ja gar nicht definierten Funktion $\begin{align*} \ln\left( \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right) \end{align*}$ ist, sondern von

$\begin{align*} \ln\left| \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right| = \ln\left( \frac{t^2(1-t)^3}{(t+1)^4} \right) \end{align*}$ .

Offenbar muss man bei manchen alles drei- viermal wiederholen, bevor es endlich registriert wird. unglücklich

unglücklich

29.05.2015, 17:03

Dominik1234

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Ich frage lieber dreimal zu oft als einmal zu wenig, meinen Prof nerve ich damit auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gelesen habe ich es selbstverständlich aber realisiert was es bedeutet wohl nicht unglücklich

unglücklich

Also das heisst, dass $\begin{eqnarray*} \frac{2}{t} + \frac{3}{t-1} - \frac{4}{t+1} \end{eqnarray*}$ durch 0 setzen doch

die richtigen NST liefert, da sich nach 'genauerer Analyse' herausstellt, dass es gar nicht die ableitung

der eigentlichen und dort nicht definierten funktion ist, sondern von der, ich nenne es mal,

"Betragsfunktion" ?

Ich hoffe so hab ich es jetzt richtig verstanden ( ja ich weiss dass es genau so da steht aber ich kanns mir nicht verkneiffen nochmal nach bestätigung zu fragen )

29.05.2015, 17:08

Leopold

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"Wachstumsrate" ist im engeren Sinn kein Fachbegriff der Mathematik. Damit könnte alles Mögliche gemeint sein, zum Beispiel einfach die Ableitung der Funktion, die in der Schuldidaktik gerne als "momentane Wachstumsrate" verstanden wird. Jetzt interpretiert Dominik1234 die "Wachstumsrate" so - warum auch immer (vielleicht aus dem Kontext der Vorlesung heraus):

Zitat:

Original von Dominik1234
b) r(t) = d/dt ln(f(t))

Aber vielleicht ist das nicht ganz richtig übernommen, und es muß so heißen, wie HAL 9000 es zwischendrin mal aufgeschrieben hat:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \ln\left| \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right| \color{red} \ \text{?} \ = \ln\left( \frac{t^2(1-t)^3}{(t+1)^4} \right) \ \text{?} \end{align*}$

Das rot markierte hat sich sicher fälschlich da eingeschlichen.
Wie auch immer - ich finde die Umstände der Aufgabe ein bißchen unklar ...

29.05.2015, 17:15

Dominik1234

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Zitat:

Original von Leopold
Jetzt interpretiert Dominik1234 die "Wachstumsrate" so - warum auch immer (vielleicht aus dem Kontext der Vorlesung heraus):

Zitat:

Original von Dominik1234
b) r(t) = d/dt ln(f(t))

Aber vielleicht ist das nicht ganz richtig übernommen, und es muß so heißen, wie HAL 9000 es zwischendrin mal aufgeschrieben hat:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \ln\left| \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right| \color{red} \ \text{?} \ = \ln\left( \frac{t^2(1-t)^3}{(t+1)^4} \right) \ \text{?} \end{align*}$

Das rot markierte hat sich sicher fälschlich da eingeschlichen.
Wie auch immer - ich finde die Umstände der Aufgabe ein bißchen unklar ...

Also ich habe die Wachstumsrate so definiert, da in meiner Formelsammlung, die ich für die Prüfung nutzen darf steht :

$\begin{eqnarray*} Wachstumsrate von y=f(t) = r(t) = \frac{f'(t)}{f(t)} = \frac{d}{dt} ln(f(t)) \end{eqnarray*}$

29.05.2015, 17:31

Leopold

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Zitat:

Original von Dominik1234
Also ich habe die Wachstumsrate so definiert, da in meiner Formelsammlung, die ich für die Prüfung nutzen darf steht :

$\begin{eqnarray*} Wachstumsrate von y=f(t) = r(t) = \frac{f'(t)}{f(t)} = \frac{d}{dt} ln(f(t)) \end{eqnarray*}$

Das steht mitnichten so in deiner Formelsammlung. So schlecht kann die gar nicht sein. Zumindest sollte man erkennen, was zusammengehört. Vielleicht so:

$\begin{align*} \color{blue} \left\{ \text{Wachstumsrate von} \ y = f(t) \right\} \color{black} = r(t) = \ldots \end{align*}$

Für Funktionen, die negativer Werte fähig sind, stimmt das letzte Gleichheitszeichen oben nicht. HAL 9000 hat sich dazu mehrfach geäußert.

29.05.2015, 17:53

Dominik1234

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ja Wachstumsrate von y=f(t) ist die Überschrift und drunter dann der rest, hat die leerzeichen nicht richtig genommen mit dem formeleditor und hätte ein : machen sollen ..

Das Skript in dem r(t) erwähnt wird heißt "ökonomische Anwendung der Differentialrechnung", vielleicht wegen dem ökon. Hintergrund ist es trotzdem so definiert - habe ich noch nie hinterfragt verwirrt

verwirrt

29.05.2015, 17:58

Leopold

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Möglicherweise wird in der Formelsammlung vorausgesetzt, daß $\begin{align*} f(t) \end{align*}$ als Bestand nur positiver Werte fähig ist. Dein Professor nimmt jetzt aber eine Funktion, die auch negativer Werte fähig ist. Vielleicht fragst du einfach einmal bei dem "Ollen" nach ...

29.05.2015, 18:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \ln\left| \frac{t^2(t-1)^3}{(t+1)^4} \right| \color{red} \ \text{?} \ = \ln\left( \frac{t^2(1-t)^3}{(t+1)^4} \right) \ \text{?} \end{align*}$

Das rot markierte hat sich sicher fälschlich da eingeschlichen.

Da hat sich nichts fälschlich eingeschlichen, du hast nur unvollständig zitiert: Zu Beginn des Satzes stand, dass diese nachfolgenden Betrachtungen - und Gleichungen - nur für $\begin{align*} t<1,t\neq 0,t\neq -1 \end{align*}$ gelten sollen.

29.05.2015, 18:10

Leopold

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Ach stimmt! Du hast ja aus $\begin{align*} t-1 \end{align*}$ rechts $\begin{align*} 1-t \end{align*}$ gemacht. Das ist ja eine richtige Herausforderung fürs genaue Lesen! Big Laugh

Big Laugh

29.05.2015, 18:43

HAL 9000

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Gesetzt den Fall, die Wachstumsrate ist doch "erweitert" definiert gemäß $\begin{align*} r(t) = \frac{\dd}{\dd t} \ln|f(t)| \end{align*}$ :

Vielleicht will der Prof ja gerade an diesem Beispiel testen, wie die Studenten die Wachstumsrate im Fall negativer $\begin{align*} f(t) \end{align*}$ ökonomisch interpretieren... Big Laugh

Big Laugh

(Ich hab gerade den unbändigen Drang, ein diesbezügliches Beispiel mit Griechenland zu konstruieren - aber ich lasse es dann doch sein.)

29.05.2015, 18:50

Leopold

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Das ist die wohlmeinende Interpretation hinsichtlich der Absichten des Herrn Professors. Ich halte die folgende Interpretation für wahrscheinlicher: Er hat sich gar nichts gedacht. So etwas soll - in seltenen Fällen - auch einmal bei Professoren vorkommen.

29.05.2015, 19:14

Dominik1234

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Ich schätze er hat nicht erwartet, dass diese Aufgabe in ein Forum gepostet wird und von euch auseinander genommen in ihrer richtigkeit Big Laugh

Big Laugh

Ich schätze wirklich er hat sich nichts dabei gedacht und dass die gerundeten stellen 0,275 und -7,275 die sind, nach denen er suchen lassen möchte verwirrt

verwirrt

14.06.2015, 19:21

Dominik1234

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falls es noch interessiert, die Aufgabe war so "richtig" gelöst in der Prüfung und ich habe sie bestanden, danke für die dazu beitragende hilfe Freude

Freude

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