Satz von Peano Verständnis

29.05.2015, 10:12

wasserflasche

Satz von Peano Verständnis

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll zur Zeit den Beweis vom Satz von Peano durcharbeiten und steh vor einem kleinen Problem. Als Lektüre verwende ich das Buch "Gewöhnliche Differentialgleichungen" von W. Walter. Da drin wurde der Satz von Peano ausführlich für den eindimensionalen Fall bewiesen. Mein Professor möchte nun, dass ich diesen Beweis auf den n-dimensionalen Fall übertrage.
Im Buch wird so vorgegangen: Zunächst beweist man, dass der Satz von Peano auf einem Streifen gilt(lokaler Peano). Diesen Beweis auf das n-dimensionale zu übertragen ist kein Problem. Nun geht es aber darum, dass man die Funktion f nur in einer Umgebung um den Anfangswert stetig hat und nicht mehr in einem Streifen. Im eindimensionalen Fall wird f einfach stetig fortgesetzt, was relativ simpel ist. Mein Professor meinte nun, dass man das im n-dimensionalen Fall nicht so einfach machen kann und hat mir dafür folgenden Satz+Beweisskizze gegeben:
Sei $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine offene Umgebung von $\begin{eqnarray*} (y_0,t_0) \end{eqnarray*}$ . Außerdem existiert ein U' mit $\begin{eqnarray*} \overline{U} \subset U' \end{eqnarray*}$ und sei f stetig auf U'. Dann existiert ein a>0 und eine Lösung des AWP auf $\begin{eqnarray*} [t_0,t_0+a] \end{eqnarray*}$ .
Sein Beweis sieht dann folgendermaßen aus. Wir finden eine Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi \in C_C^\infty (\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Phi = 1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline{U} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ \U'. Dann setze $\begin{eqnarray*} f':=f*\Phi \end{eqnarray*}$ und erhalte eine stetige Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Wende nun den lokalen Peano an.

Meine Ideen:
Für mich macht dieser Beweis überhaupt keinen Sinn und ich verstehe nicht wieso dieser Beweis mir überhaupt helfen soll.
Kann mir jemand sagen ob der Beweis richtig ist und was ich damit anfangen soll?

30.05.2015, 03:52

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RE: Satz von Peano Verständnis

Zitat:

Original von wasserflasche
Meine Ideen:
Für mich macht dieser Beweis überhaupt keinen Sinn und ich verstehe nicht wieso dieser Beweis mir überhaupt helfen soll.

Stetige Fortsetzung der rechten Seite von einer Umgebung auf den ganzen Raum, um dann das Ergebnis fuer einen Streifen anwenden zu koennen. Das sollte Dir klar sein, wenn Du das Buch von Walter als Vorlage hast.

(Warum man das nicht wie bei Walter einfach per Projektion machen soll, sondern mit einer Faltung, entzieht sich meiner Kenntnis. Man muss nur konvexe Umgebungen betrachten.)

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