Beweis: Das Produkt zweier integrierbarer Funktionen ist integrierbar

29.05.2015, 11:47

Bisonator1994

Beweis: Das Produkt zweier integrierbarer Funktionen ist integrierbar

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll zeigen:

Seien f,g \left[a,b\right] ->R integierbare Funktionen,
Dann ist auch f*g integrierbar

Meine Ideen:
Ich habe bereits im Internet nach ansätzen gesucht und immer wurde die Formel angegeben, f*g = 1/4 (f+g)^2 + (f-g)^2, diese Formel hatten wir aber noch nicht.
Für den Beweis f+g habe ich das ganze auf Riemannsummen zurück geführt, komme hier aber damit auf keinen grünen Zweig.
Auch mein Ansatz Obersumme (f*g) - Untersumme (f*g)< epsilon
führt bisher zu keinem ergebnis
Ich bräuchte mal eine kleinen Stupser

29.05.2015, 11:53

10001000Nick1

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RE: Beweis: Das Produkt zweier integrierbarer Funktionen ist integrierbar

Zitat:

Original von Bisonator1994
Ich habe bereits im Internet nach ansätzen gesucht und immer wurde die Formel angegeben, f*g = 1/4 (f+g)^2 + (f-g)^2, diese Formel hatten wir aber noch nicht.

Das stimmt ganz sicher nicht. Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} f\cdot g=\frac{1}{4}((f+g)^2-(f-g)^2) \end{eqnarray*}$ ? Diese Gleichung braucht man nirgends "gehabt" zu haben, um zu sehen, dass sie richtig ist; multipliziere einfach mal die rechte Seite aus.

29.05.2015, 12:10

Bisonator1994

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Ja danke,
dann bleibt noch das Problem zu zeigen, dass das Quadrat einer integrierbaren Funktion integrierbar ist.
Kann mir jemand einen ansatz sagen?

29.05.2015, 12:25

10001000Nick1

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Ok, ein Ansatz: Benutze die Definition. Augenzwinkern

Also: Du nimmst eine beliebige Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z=(a=x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n=b) \end{eqnarray*}$ des Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Wie sehen dann mit dieser Zerlegung die Ober- bzw. Untersumme aus?

29.05.2015, 12:42

Bisonator1994

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Naja :
Untersumme:

(Summe) i=0 ->n : Intervall Breite* inf ((f(x)^2)(x aus Teilintervall))

Obersumme eben mit Supremum

aber daraus kann ich doch nicht schließen, dass Untersumme = Obersumme oder?

29.05.2015, 13:09

10001000Nick1

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Nein, die Ober- und Untersummen sind ja auch nicht gleich.

Du musst zeigen, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ gibt, sodass die Differenz der Ober- und Untersummen $\begin{eqnarray*} O(f^2,Z)-U(f^2,Z)<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.
Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierbar ist, finden wir auf jeden Fall für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung, sodass $\begin{eqnarray*} O(f,Z)-U(f,Z)<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} O(f^2, Z)-U(f^2, Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f^2(x)-\sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})\left(\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f^2(x)-\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f^2(x)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})\sup_{x,y\in[x_{k-1},x_k]}\left(f^2(x)-f^2(y)\right) \end{eqnarray*}$

Versuch mal, ob du das jetzt so abschätzen kannst, dass du dann die Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ benutzen kannst.

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