? Reelle Zahl = komplexe Zahl ?

29.05.2015, 18:45	AstroNerd	Auf diesen Beitrag antworten »
? Reelle Zahl = komplexe Zahl ? Hallo Forenuser, Ich glaube, dass ich zum Schuljahresende anfange zu verdummen ... Wo liegt mein Fehler ? $\begin{eqnarray} \sqrt{a-b} = \sqrt{(b-a) \cdot (-1)} = \sqrt{b-a}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{b-a} \cdot i \end{eqnarray}$ Vielen Dank. AstroNerd
29.05.2015, 18:51	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Fehler ist schon einmal die Annahme, dass $\begin{align} \sqrt{-1}=i \end{align}$ . Es gilt zwar $\begin{align} i^2=-1 \end{align}$ , aber daraus folgt eben nicht, dass $\begin{align} \sqrt{-1}=i \end{align}$ (Stichwort: Mehrdeutigkeit der Wurzel im Komplexen)
29.05.2015, 18:59	AstroNerd	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh - das habe ich nicht gewusst. Warum eigentlich ? Vielen Dank. AstroNerd
29.05.2015, 19:09	PhyMaLehrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, es kann auch -i sein... Aber an der Sache ist schon etwas dran. Von dem langweiligen Fall a = b abgesehen: Wenn a > b, dann gibt es reelle Wurzeln. Wenn man die Umformung so wie oben macht, dann wird b - a < 0 und die Wurzel ist nicht mehr reell. Im Komplexen gibt es aber Lösungen. Und in Verbindung mit dem i stimmts dann wieder... War das jetzt zu naiv betrachtet? (Ich erinnere mich, im Studium mal einen Kurzvortrag über "Die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln" gahalten zu haben. Aber das ist laaaange her... )
29.05.2015, 19:11	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil sie selbst im reelen nicht eindeutig ist. Das ist sie nur dann, wenn man sich auf ein Vorzeichen einigt. Im Komplexen gibt es den Begriff des Vorzeichens aber nicht, da C nicht angeordnet ist. Eine quadratische Gleichung hat hier stets zwei (nicht notwendiger Weise verschiedene) Lösungen.
29.05.2015, 19:18	AstroNerd	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt blicke ich gar nicht mehr durch. Also ist nun $\begin{eqnarray} \sqrt{a-b} = \sqrt{b-a} \cdot (\pm i) \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank AstroNerd PS.: Ich hoffe meine Frage ist nicht peinlich. Ich bin noch Anfänger, was komplexe Zahlen angeht ...
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29.05.2015, 19:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir uns doch einfach ein Beispiel: a=5, b=1 Dann ist $\begin{eqnarray} \sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{-4}=\pm i\sqrt{4} =\pm 2i \end{eqnarray}$
29.05.2015, 19:34	AstroNerd	Auf diesen Beitrag antworten »
mmmh ... $\begin{eqnarray} -i \cdot \sqrt{-4} \end{eqnarray}$ sollte doch $\begin{eqnarray} -\sqrt{4} \end{eqnarray}$ sein - oder habe ich einen Denkfehler ?
29.05.2015, 19:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das linke ergibt $\begin{eqnarray} \pm 2 \end{eqnarray}$ , das rechte $\begin{eqnarray} -2 \end{eqnarray}$
29.05.2015, 20:01	AstroNerd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich lag wohl falsch. $\begin{eqnarray} -i \sqrt{-4} = -i \cdot i \sqrt{4} = \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray}$ Das bestätigt ebenfalls WolframAlpha (es wird als Lösung für $\begin{eqnarray} -i \sqrt{-4} \end{eqnarray}$ nur $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \pm 2 \end{eqnarray}$ ausgegeben) http://www.wolframalpha.com/input/?i=-i*sqrt%28-4%29 Mit freundlichem Gruß AstroNerd
29.05.2015, 21:13	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Und nur weil eine Datenbank eins von zwei Ergebnissen ausspuckt ist das andere falsch? Ich bleibe dabei: Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray} \pm 2 \end{eqnarray}$

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