Funktion nicht integrierbar

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Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion nicht integrierbar
Hi alle zusammen, ich habe folgende Aufgabe bekommen die ich lösen soll.

Sei auf und . Zeigen Sie dass nicht über den integrierbar ist aber dass die beiden Integrale und existieren und den Wert besitzen.

Meine Ideen:

Ich weiß das die Signumfunktion für den Wert und für den Fall den Wert liefert. Deshalb kann ich auch zwei Fälle betrachten in denen und ist was sich schlussendlich auf einen Fall reduziert.

Also und gilt erstmal zu zeigen das diese beiden Integrale Null ergeben.

Laut Taschenrechner ist die Stammfunktion für

Wenn ich das nun auswerte komme ich auf:



Das selbe Spiel bei dem zweiten Integral.

Wie man dieses Integral auswerten kann ohne z.B. in die komplexe Ebene und dort mit dem Residuensatz das Integral zu bearbeiten weiß ich nicht. Hat jemand eine Idee wie ich das geknackt bekomme?

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich würde dir gerne helfen, aber einige Sachen sind mir noch unklar.

1) Ich kenne die mehrdimensionale Signumsfunktion nicht und konnte sie auf die schnelle auch nicht bei Wikipedia finden, magst du sie bitte kurz definieren?

2) Wie kommst du auf ?

3) Geht es um uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit oder um Lebesgue-Integrierbarkeit ?
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12,

1) Die Definition der mehrdimensionalen Signumfunktion habe ich auch nicht. Ich habe diese Definition von Wikipedia genommen und diese für die Fälle erweitert. Also
für
für
für . Ich dachte das sei eine gescheite Verallgemeinerung.

2) Ich habe das Integral einmal konkret ausgeschrieben.

Für geht gegen . Für geht gegen . Das sagt mir zumindest mein Taschenrechner.
Demnach ist dann die Differenz Null. Wolframalpha zeigt mir allerdings auch ein anderen Grenzwert an. (wolframalpha.com/input/?i=lim_{x\to\infty}\arctan%28\frac{x}{y}%29)

3) Es handelt sich um Lebesgue Integrierbarkeit.

Gruß
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das kann doch nicht sein, dass da einfach eine undefinierte Funktion verwendet wird verwirrt

Wie willst du sie denn definieren, wenn und oder umgekehrt (diese Werte fehlen noch)?

Da steht ganz sicher nicht ?
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal nachgeschaut und es steht genau so dort wie ich es hier angegeben habe. Ob es eventuell anders gemeint ist kann ich nicht sagen.

Wie mache ich denn nun weiter?

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, wir brauchen zuerst mal Werte für beispielsweise , denn dort gilt weder , noch . Du müsstest also erstmal diese Werte noch definieren.

Ich schlage allerdings einen anderen Weg vor. Wir tun so, als würde dort stehen. Dann ist nämlich die Aussage richtig. Mit deiner Definition wird das eher nicht so sein. Einverstanden?
 
 
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das erscheint mir ehrlich gesagt auch sinniger.
Wie darf ich denn nun mit rechnen? Ich meine die Signumfunktion liefert nur Werte für oder .

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun oder halt für . Jetzt ist es aber so, dass das für alle wohldefiniert ist, weil für und (z.B.) nun gilt. Das macht kein Problem.

Es reicht für den ersten Teil ja nun zu zeigen, dass für alle .
Das ist hier aber nicht so schwer. Du kannst zuerst zeigen, dass die Funktionen für alle tatsächlich nach integrierbar sind (was eigentlich bekannt sein sollte). Dass das Integral gleich 0 ist folgt dann, weil für festes ungerade in ist, da musst du also die Integrale garnicht explizit ausrechnen.
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12, ich muss also zeigen das erstmal gilt. So ganz sehe ich nicht warum das gilt.
Wie soll ich das denn zeigen? Wirklich vereinfachen tut sich das Problem ja nicht.
Ich kann mir nur vorstellen damit zu argumentieren da in dem Fall tritt der Fall auf demnach gilt und demnach ist der Integrand und darauß folgt das man über das Nullintegral integriert was Null ergibt. Das wäre allerdings nur ein Fall von insgesamt drei Fällen.

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dir doch geschrieben, wie das geht. Was ist daran unklar ?
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12, ich verstehe deine Argumentation noch nicht so ganz.
Ich soll integrieren. Das wäre dann ja
Wie soll ich denn behandeln wenn ich hier nach integriere?

Dann schreibst du "Dass das Integral gleich ist folgt dann, weil für festes ungerade in ist, da musst du also die Integrale garnicht explizit ausrechnen. "

Wie ist das gemeint?

Der Nenner ist gerade und der Zähler ist ungerade für festes y. Dann kann ich sagen das eine ungerade Funktion ist?


Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Existenz des Integrals brauchst du ja bloß den Betrag abzuschätzen. Da fällt das sign doch einfach weg (außer für y=0). Dass der Integrand ungerade in x ist kannst du nach Definition nachweisen. Dafür ist zu zeigen, dass f(-x,y) = -f(x,y). Das ist hier nun wirklich nicht schwer. Es folgt aber auch aus dem, was du gesagt hast. Wenn du das Integral lieber explizit ausrechnen willst, kannst du das auch machen. Überlege dir dafür zuerst, dass sign(xy) = sign(x)sign(y) gilt.
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12, so langsam macht es klick. Wenn ich betrachte weiß ich das der Integrand ungerade ist. Da über die komplette x-Achse integriert wird sind die Grenzen von bis . Da es sich um ein symmetrisches Intervall handelt und der Integrand ungerade folgt dass das Integral Null ist.

Analog verfährt man dann mit der y-Integration.

und führt hier die selbe Argumentation mit ungerader Integrand und symmetrisches Intervall Integral ist Null.

Bei der Vertauschung also erhält man dann das selbe Ergebnis. Soweit müsste es passen?

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du musst nur (und das ist ganz wichtig) nachweisen, dass das Integral überhaupt existiert.

Beispielweise hat auch einen ungerade Integranden, trotzdem ist das Integral darüber nicht , es existiert garnicht.
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich wie von dir vorgeschlagen eine Majorante angeben kann die konvergiert dann konvergiert auch das urpsürngliche Integral selber. Mit der Abschätzung

habe ich sowas. Die Frage ist allerdings ob man stillschweigend voraussetzen darf dass das Integral existiert was ja a priori nicht sofort ersichtlich ist.

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Da hier ja nur der Fall interessant ist, ist der Integrand überall schön stetig. Wegen der Symmetrie und der Stetigkeit reicht es dann zu zeigen, dass . Da kannst du jetzt aber einfach das im Nenner weglassen. Dass dieses Integral existiert sollte aber bekannt sein oder nicht?
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12, das mit der Integration von ist mir noch klar. Allerdings im nächsten Schritt sagst du das weg gelassen werden kann. Wir gehen allerdings davon aus das . Warum darf dann einfach weggelassen werden oder gehen wir von einer weiteren Abschätzung aus?


Das konvergiert ist dann offensichtlich.
Damit ist dann gezeigt dass das Integral existiert. Den Wert Null haben wir davor berechnet.
Soweit müsste alles klar sein.

Damit habe ich ja nun gezeigt dass das Integral über den existiert und den Wert Null besitzt.
Ich sollte aber doch eigentlich zeigen dass die Funktion über den nicht integrierbar ist aber das die beiden Integrale den Wert Null liefern.
Beißt sich da nicht die Katze in den Schwanz? Big Laugh

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
oder gehen wir von einer weiteren Abschätzung aus?


So war das gemeint, ja.

Nein, wir haben nicht gezeigt, dass das Integral über existiert. Wir haben gezeigt, dass jeweils nach und nach über integrabel ist (und den Wert bestimmt).

Wir müssen jetzt noch zeigen, dass unendlich ist.

Dann mal los Augenzwinkern
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12, warum muss denn gezeigt werden?

Also konkret warum der Betrag des Integranden? Meine erste Idee war ehrlich gesagt eine Transformation in Polarkoordinaten. Da bietet sich der Nenner ja gerade zu an.
und



Wenn ich hier wieder einmal abschätze erhalte ich:


Damit hätte ich doch auch gezeigt dass das Integral über den nicht existiert. (Wenn ich nach Polarkoordinaten transformiere) oder tauchen dann Probleme bei der Argumentation auf weil ich das Koordinatensystem gewechselt habe?

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine messbare Funktion ist doch genau dann integrierbar, wenn ihre -Norm endlich ist.

Das heißt wir müssen hier zeigen, dass ihre -Norm nicht endlich ist. Und diese ist genau durch dieses Integral gegeben.

Grundsätzlich ist eine Abschätzung nach oben nicht viel wert, wenn man nicht-Endlichkeit zeigen will. Vergleiche mit ist nun die Nullfunktion nicht integrierbar?

Du kannst trotzdem deinen Weg wählen, nur musst du, wie gesagt eben den Betrag betrachten.
Dann ist das auch keine Abschätung mehr, sondern eine Gleichung (weil die Integranden abgesehen von einer Nullmenge diese Gleichung erfüllen).
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Guppi12, die Aufgabe sollte damit erledigt sein. Allerdings nochmal zu der -Norm. Ich habe das so verstanden das eine Menge messbar ist, wenn sie integrierbar ist. Da scheine ich wohl etwas falsch verstanden zu haben.Das heißt also das eine Menge messbar ist, wenn ihre Norm endlich ist. Das heißt dann konkret wenn das Integral also existiert?

Im anderen Fall: Eine Menge ist nicht messbar, wenn ihre Norm unendlich ist also ?

Vielen Dank für deine tolle Hilfe smile

Gruß Dodooo
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun bringst du einiges durcheinander. Kann es sein, dass ihr das Lebesgue-Integral nicht maßtheoretisch eingeführt habt?

Falls nein musst du noch den Satz verwenden, dass für eine integrierbare Funktion auch ihr Betrag integierbar ist. Den Satz hattet ihr doch bestimmt oder?

Dann folgt aus der Annahme, dass integrierbar ist, dass der Betrag integrierbar ist und damit dann ein Widerspruch.
Dodooo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wir haben das Lebesgue Integral nicht maßtheoretisch eingeführt. Dann werde ich das mit dem Betrag begründen.

Damit bedanke ich mich.

Gruß Dodooo
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