Suffizienz

30.05.2015, 16:53

Kegorus

Suffizienz

Meine Frage:
Hallo, ich möchte gern folgendes Bsp lösen:
$\begin{eqnarray*} X_{1},..,X_{n} \end{eqnarray*}$ sei eine Stichprobe mit zugehöriger Dichte:
$\begin{eqnarray*} f(x,\Theta)=e^{-(x-\Theta)}I_{(\Theta,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$
Zeige nach der Definition einer suffizienten Statistik, dass $\begin{eqnarray*} Y_{1}=min(X_{i}) \end{eqnarray*}$ suffizient ist.

Meine Ideen:
Mit der Neyman Charakterisierung hab ichs hingekriegt, aber das war ja nicht gefragt.
Ich brauch also die Dichtefunktion zu $\begin{eqnarray*} Y_{1} \end{eqnarray*}$ . Sollte man doch leicht mit dem mehrdimensionalen Transformationssatz bestimmen können oder?
Aber die Minimumsfunktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist ja nicht bijektiv bzw. ich weiß nicht welche Funktionaldeterminante ich mir ausrechnen muss..
Danke für Antworten!

30.05.2015, 17:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kegorus
$\begin{eqnarray*} X_{1},..,X_{n} \end{eqnarray*}$ sei eine Stichprobe mit zugehöriger Dichte:
$\begin{eqnarray*} f(x,\Theta)=e^{(-x-\Theta)}I_{(\Theta,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

Sicher? Ich hätte eher

$\begin{eqnarray*} f(x,\Theta)=e^{-(x-\Theta)}I_{(\Theta,\infty)}(x) \end{eqnarray*}$

angenommen, schon weil das Integral über die Dichte gleich 1 sein muss (was bei deinem f nicht der Fall ist).

30.05.2015, 18:17

Kegorus

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Ja stimmt hab mich verschrieben ich habs jetzt ausgebessert..

Also der Satz von Neyman in meinem Skript sagt, dass die Statistik $\begin{eqnarray*} Y=u(X_{1},..,X_{n}) \end{eqnarray*}$ genau dann suffizient für Theta ist wenn es nicht negative Funktionen k1 und k2 gibt sodass:

$\begin{eqnarray*} f(x_{1},\Theta)...f(x_{n},\Theta) = k1(u(x_{1},..,x_{n}),\Theta) k2(x_{1},..,x_{n}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir definiere (u gleich min)

$\begin{eqnarray*} k1(min(x_{i}),\Theta)=e^{n\Theta}I_{(0,\infty)}(min(x_{i}))<br /> k2(x_{1},..,x_{n})=e^{-x_{1}-..-x_{n}} \end{eqnarray*}$

wär mit dem Satz die Suffizienz ja gezeigt oder?

30.05.2015, 18:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kegorus
$\begin{eqnarray*} f(x_{1},\Theta)...f(x_{n},\Theta) = k1(u(x_{1},..,x_{n},\Theta) k2(x_{1},..,x_{n}) \end{eqnarray*}$

Schon wieder eine etwas seltsame Klammerung - es sollte doch

$\begin{eqnarray*} f(x_{1},\Theta)...f(x_{n},\Theta) = k_1(u(x_{1},..,x_{n}),\Theta) k_2(x_{1},..,x_{n}) \end{eqnarray*}$

heißen. Und auch wenn bei $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ als erstes Argument $\begin{eqnarray*} u(x_1,\ldots,x_n) = \min(x_i) \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird, würde ich es bei der Festlegung mit "normalen" Argument schreiben, d.h.

$\begin{eqnarray*} k_1(u,\Theta)=e^{n\Theta}I_{(0,\infty)}(u) \end{eqnarray*}$ , (<-- da war erneut ein Vorzeichenfehler bei dir, im Exponenten)

wirkt auf mich irgendwie transparenter. Augenzwinkern

Aber inhaltlich ist es soweit Ok, ja.

30.05.2015, 20:18

Kegorus

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Danke für deine Hilfe!

Ja in dem ganzen Latexklammersalat kann leicht mal eine Klammer verloren gehen..
Weißt du vielleicht auch wie ich die Dichte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bestimmen kann? Das sollte doch direkt mit dem Transformationssatz gehen oder?

30.05.2015, 21:24

HAL 9000

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Geh doch über die Verteilungsfunktion von $\begin{align*} Y \end{align*}$ , d.h.

$\begin{align*} 1-F_Y(y) = P(Y\geq y) = P(\min\{X_i\} \geq y) \stackrel{!}{=} P(X_1\geq y,X_2\geq y,\ldots,X_n\geq y) = (1-F(y,\Theta))^n \end{align*}$

Diese Verteilungsfunktion der $\begin{align*} X_i \end{align*}$ gewinnt man durch Integration der Dichte, d.h., $\begin{align*} F(y,\Theta) = \int\limits_{-\infty}^y f(x,\Theta) ~ \dd x \end{align*}$ .

02.06.2015, 15:04

Kegorus

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Super danke, jetzt hab ichs auf die Art auch hingekriegt. In dem Quotienten von der Definition einer suffizienten Statistik kürzen sich dann alle Theta-Terme weg =)

Noch zu dem Beweis mit Verwendung des Satzes von Neymar: In meiner Angabe steht noch dabei: Man beachte, dass in diesem Fall der Träger der Verteilung von Theta abhängt; dieser Umstand is bei der Anwendung des Kriteriums (Neymar) zu berücksichtigen.

Ich versteh nicht auf sie einen da aufmerksam machen wollen.. Der Träger der Verteilung hängt von Theta ab, das hat man aus der Angabe, na und?
Mein k1 und k2 sollten doch stimmen, k2 hat keine Thetaabhängigkeit auch nicht der Träger von k2..

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