Abzählbare Vereinigung von Kompakta

31.05.2015, 01:17	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbare Vereinigung von Kompakta Meine Frage: Hab grad folgendes Problem: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine zusammenhängende Riemannsche Fläche, die abzählbare Basis der Topologie besitzt (tun sie immer) und lokal kompakt ist. Ich will zeigen dass man $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ dann als abzählbare Vereinigung von Kompakta schreiben kann, also $\begin{eqnarray} X=\bigcup_{n\in\mathbb N}K_{n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wie genau funktioniert das? So schwer wirds wahrscheinlich nicht sein, steh grad aber irgendwie total auf dem Schlauch. Ich weiß dass $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ abzählbare Basis der Topologie besitzt, etwa indem ich Kugeln mit Radius $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ um jeden Punkt $\begin{eqnarray} z=x+iy \end{eqnarray}$ lege mit $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ und diese dann vereinige. Hilft mir das irgendwie für die Aussage auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray*}$ ?? Bitte helft mir!
31.05.2015, 02:37	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich kenne mich mit riemannschen Flächen nicht gut aus, aber das scheint mir eine rein topologische Fragestellung zu sein. Zeige, dass jeder zweitabzählbare Raum lindelöfsch ist (bzw. benutze es, falls bekannt), d.h. dass jede offene Überdeckung des Raums eine abzählbare Teilüberdeckung besitzt. Um jeden Punkt $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ gibt es eine kompakte Umgebung $\begin{eqnarray} K(x) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Wähle eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} U(x) \subset K(x) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Jetzt ist $\begin{eqnarray} \bigcup_{x\in X}U(x) \end{eqnarray}$ eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Was kannst du daraus schließen?
31.05.2015, 14:32	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey super. Ist mir damit direkt klar! Vielen Dank

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