Kurven, Länge einer Kurve

31.05.2015, 15:26	leilapepper	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurven, Länge einer Kurve Meine Frage: Hallo Ich brauche dringend Hilfe bei der folgenden Aufgabe: Gegeben sei ein Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} R>0 \end{eqnarray}$ . Auf dem Rand des Kreises rollt ein zweiter Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ so ab, dass dieser stets mit dem ersten Kreis verbunden ist. Auf dem zweiten Kreis liegt ein Punkt P, der fest mit diesem Kreis verbunden ist und einen Abstand zum Mittelpunkt des zweiten Kreises von a hat. Zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ befindet sich der Punkt P an der Stelle $\begin{eqnarray} (R+r-a,0) \end{eqnarray}$ . Die Bewegung von P wird beschrieben durch die Kurve $\begin{eqnarray} \gamma(t)=\begin{pmatrix} (r+r)cos(t)-acos(\frac{R+r}{r}t) \\ (r+r)sin(t)-asin(\frac{R+r}{r}t) \end{pmatrix} ,t\in [0,\infty [ \end{eqnarray}$ 1) Skizzieren Sie die Kurve für $\begin{eqnarray} a=r=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R=3 \end{eqnarray}$ . 2) Zeigen Sie, dass die Kurve geschlossen ist, genau dann wenn $\begin{eqnarray} m=\frac{R+r}{r} \end{eqnarray}$ rational ist. Bei welchem $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ schließt sich die Kurve? 3) Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray} a=r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{R}{r}\in\mathbb N \end{eqnarray}$ die Länge der Kurve, die der Punkt beschreibt, bis er das erste mal wieder den inneren Kreis berührt. 4) Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray} a=r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{R}{r}\in\mathbb N \end{eqnarray}$ die Länge der Kurve, wenn P genau einmal den Mittelpunkt des inneren Kreises vollständig umlaufen hat. Meine Ideen: zu 1) [attach]38245[/attach] zu 2) es gibt ein $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ , so dass für alle t gilt $\begin{eqnarray} \gamma(t+t_0)=\gamma(t) \end{eqnarray}$ . zu 3) und 4) $\begin{eqnarray} L(\gamma)=\int_{a}^{b} \! \|\|\gamma^\cdot (t)\|\|_2 \, dt \end{eqnarray}$ ist die Länge von $\begin{eqnarray} \gamma:[a,b]\to \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ Ich weiß einfach nicht, wie ich anfangen soll bzw. was genau ich zu machen habe und wäre deshalb über Hilfe und Tipps wirklich dankbar! LG
01.06.2015, 10:04	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurven, Länge einer Kurve Zu 2) Sei $\begin{eqnarray} \gamma (t)= (x(t), y(t)) \end{eqnarray}$ . Benutze $\begin{eqnarray} \gamma (t+t_0)=\gamma (t) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t = 0 \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} \gamma (t_0) = \gamma (0) \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ rational ist, ist es leicht, ein passendes $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ anzugeben. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ rational sein muss, kann man $\begin{eqnarray} d^2(t)=x^2(t)+y^2(t) \end{eqnarray}$ betrachten. Aus $\begin{eqnarray} d^2(t_0)=d^2(0) \end{eqnarray}$ bekommt man unter Benutzung eines Additionstheorems der Winkelfunktionen eine einfache Beziehung zwischen $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ und den anderen Konstanten. Zusammen mit $\begin{eqnarray} y(t_0)=y(0)=0 \end{eqnarray}$ ergibt sich, dass $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ rational sein muss. 3) und 4) können wir uns anschließend widmen.
01.06.2015, 11:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vorfaktor $\begin{align} r+r \end{align}$ soll wohl richtigerweise $\begin{align} R+r \end{align}$ heißen.

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