Dreiecksungleichung beweisen

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31.05.2015, 17:46	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksungleichung beweisen Hallo, folgende Aufgabe; Ich soll zeigen, dass für die Punkte A,B,C aus R² die Ungleichung gilt: $\begin{eqnarray} \|\overline{AC}\|\leq \|\overline{AB}\|+\|\overline{BC}\| \end{eqnarray}$ Habe mir erstmal ein Dreieck gezeichnet und dann ersetzt; $\begin{eqnarray} \|b\|\leq \|c\|+\|a\| \end{eqnarray}$ Dann habe ich quadriert. $\begin{eqnarray} b^{2}\leq c^{2}+a^{2} \end{eqnarray}$ dann umgeformt: $\begin{eqnarray} c^{2}\leq b^{2}-a^{2} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich den allgemeinen Satz des Pythagoras für $\begin{eqnarray} c^{2} \end{eqnarray}$ eingesetzt $\begin{eqnarray} a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma)\leq b^{2}-a^{2} \end{eqnarray}$ umgeformt $\begin{eqnarray} a^{2}\leq ab\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich nicht mehr weiter... Ich könnte durch a teilen, (a ungleich 0), dann käme ich auf: $\begin{eqnarray} a\leq b\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ aber dann weiß ich nicht weiter.. Danke!
31.05.2015, 18:00	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksungleichung beweisen du hast beim Übergang von der 2. zur 3. Ungleichung falsch quadriert
31.05.2015, 18:08	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss ich Fallunterscheidungen machen oder?
31.05.2015, 18:13	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst die 1. binomische Formel anwenden, wenn du eine Summe quadrierst
31.05.2015, 18:22	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ja.. also $\begin{eqnarray} b^{2}\leq (c+a)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^{2}\leq c^{2}+2ac+a^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^{2}-a^{2}-2ac\leq c^{2} \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} c^{2} \end{eqnarray}$ durch Kosinussatz ersetzen $\begin{eqnarray} a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma)\leq b^{2}-a^{2}-2ac \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a^{2}-2ab\cos(\gamma)+2ac\leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(a-b\cos(\gamma)+c)\leq 0 \end{eqnarray*}$ hmm Irgendwas läuft da nicht..
31.05.2015, 18:29	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
wir gehen mal von deiner 2. Ungleichung im letzen Post aus. Dort ersetzen wir b^2 mit dem Kosinussatz
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31.05.2015, 18:36	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. $\begin{eqnarray} a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta)\leq c^{2}+2ac+a^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2ac\cos(\beta)\leq 2ac \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\cos(\beta)\leq 0 \end{eqnarray}$ Hmm. Bin ich dann fertig?
31.05.2015, 18:37	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
nein deine letzte Ungleichung ist falsch welche Operation führst du denn mit der vorletzten (richtigen) Ungleichung aus?
31.05.2015, 18:40	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -\cos(\beta)\leq 1 \end{eqnarray}$ und da cos zwischen 1 und -1 hinundherspringt, ist diese Ungleichung immer wahr.
31.05.2015, 18:47	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig du hast es noch deutlicher, wenn du die letzte UG einfach mit -1 multiplizierst Dann solltest du zu Beginn voraussetzen, dass b die größte oder zumindest eine der größten Seiten ist.
31.05.2015, 18:54	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. danke wopi Wenn ich jetzt die triviale Frage zeigen soll, was passiert, wenn B auf der Strecke AC liegt. Da habe ich ja kein Dreieck mehr. Kann ich dann einfach sagen das $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ in jedem Fall 0 ist, weil er nicht mehr existiert?
31.05.2015, 19:02	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beta hat dann 180° das eigentliche logische Problem bei solchen 'Beweisen' liegt darin, ob beim Beweis des Kosinussatzes (und von allem was dabei benutzt wird) nicht irgendwann mal vorausgesetzt wird, dass die Dreiecksungleichung gilt. (weiß ich im Augenblick auch nicht)

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