Integral Paradox?

01.06.2015, 11:03	Ueli de Schwert	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Paradox? Meine Frage: Hallo zusammen Ich habe ein Problem mit folgendem bestimmten Integral: integrate(root(cos(t)+1)dt mit den Grenzen 0 und 2pi http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate(root(1+cost),0,2pi) Wenn ich es direkt lösen lasse, kommt Wolframalpha auf 4root(2). Um die Zwischenschritte besser nachvollziehen zu können, habe ich mir dann zunächst einmal die Stammfunktion berechnen lassen: 2root(cos(t)+1)tan(t/2) http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate(root(1+cost)) Nun zu meinem Problem. Wenn ich meine Grenzen in diese Stammfunktion einsetze und anschliessend Subtrahiere, erhalte ich nicht 4root(2), sondern 0. Das liegt daran, dass sowohl tan(2pi/2)=0, als auch tan(0/2)=0. Meine Ideen: In unseren Musterlösungen wird das Integral mit Hilfe von Substitution gelöst. Auch Wolframalpha zeigt dies als Lösungsweg an, wenn man das Integral direkt berechnet. Diesen Weg kann ich eigentlich grundsätzlich nachvollziehen. Aber wieso ist es möglich, dass man mit dem Zwischenschritt über die Stammfunktionen ein anderes Ergebnis bekommt? Vielen Dank für eure Hilfe, ich stehe hier momentan gerade total auf dem Schlauch...
01.06.2015, 11:50	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Paradox? Stammfunktionen sind nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Da der Tangens bei $\begin{eqnarray} \pi/2 \end{eqnarray}$ unstetig ist, wird die angegebene Stammfunktion bei $\begin{eqnarray} t = \pi \end{eqnarray}$ unstetig, wenn man sie mit derselben Konstante benutzt. Mal sie dir mal auf! Um eine stetige Stammfunktion zu bekommen, musst du die angebene Funktion für $\begin{eqnarray} t < \pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t > \pi \end{eqnarray}$ mit unterschiedlichen Konstanten versehen. Die Differenz der Konstanten entspricht genau der Sprunghöhe der angegebenen Funktion an der Unstetigkeitsstelle. Dann bekommst du auch mit der Stammfunktion das korrekte bestimmte Integral. Alternativ kannst du das bestimmte Integral an der Sprungstelle aufteilen und die beiden Teilintegrale addieren.
01.06.2015, 13:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Paradox? In Ergänzung: Mit Additionstheorem $\begin{align} \cos^2\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{\cos(t)+1}{2} \end{align}$ lässt sich folgendermaßen umformen $\begin{align} 2\sqrt{\cos(t)+1}\cdot \tan\left( \frac{t}{2} \right) = 2\sqrt{2}\cdot \left\| \cos\left( \frac{t}{2} \right) \right\| \cdot \frac{\sin\left( \frac{t}{2} \right)}{\cos\left( \frac{t}{2} \right)} = 2\sqrt{2}\cdot \operatorname{sgn}\left( \cos\left( \frac{t}{2} \right) \right)\cdot \sin\left( \frac{t}{2} \right) \end{align}$ unter Nutzung Vorzeichenfunktion $\begin{align} \operatorname{sgn} \end{align}$ , damit wird das Wesen dieser Unstetigkeitsstelle bei $\begin{align} t=\pi \end{align}$ - nämlich ein Sprung mit der Höhe $\begin{align} 4\sqrt{2} \end{align}$ - deutlicher als in der Darstellung ganz links. Und man geht dem Ärger (teilweise) aus dem Weg, wenn man (mit demselben Additionstheorem) gleich rechnet $\begin{align} \int\limits_0^{2\pi} \sqrt{\cos(t)+1} ~ \dd t = \sqrt{2} \int\limits_0^{2\pi} \left\| \cos\left( \frac{t}{2} \right) \right\| ~ \dd t = \ldots \end{align}$
01.06.2015, 14:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein altes Ungeheuer, das sich immer wieder ächzend aus seinem Schlaf wälzt ... @ Ueli de Schwert Ich empfehle dir, diesen Strang durchzuarbeiten. Es bedarf allerdings einiger Geduld, bis sich alles klärt. Zu Anfang werden viele falsche Aussagen getätigt.
02.06.2015, 17:55	Ueli de Schwert	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank für eure Hilfe! Ich hatte schon langsam an mir selbst gezweifelt... Den Thread von dir Leopold werde ich mir mal ansehen, mal schauen, ob mir das dann nicht zu hoch ist.

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