Residuen-BSP 1/sin(z)

01.06.2015, 14:55	abrakadabra	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuen-BSP 1/sin(z) Hallo allerseits! Ich habe Probleme zu folgendem Beispiel... Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktion an ihren Polstellen: $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{sinz} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz ist, dass ich hier die Funktion mal als Reihe darstelle: $\begin{eqnarray} f(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(-1)^{n} \frac{z^{(2n+1)} }{(2n+1)!} } \end{eqnarray}$ Ich nehme mal an, ich muss hier die Laurententwicklung benutzen: $\begin{eqnarray} f(z) = \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty } a_{n} (z-p)^{n} \end{eqnarray}$ Polstellen sind ja bei $\begin{eqnarray} p_{n} = n\pi \end{eqnarray}$ , n=0,1,2,3,... So, und da hängt es nun schon. Was wäre der nächste Schritt? Danke für die Hilfe
01.06.2015, 15:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Residuen mit Laurentreihen bestimmen willst, dann mußt du den Entwicklungspunkt anpassen. Deine Entwicklung würde für den Entwicklungspunkt $\begin{align} z_0 = 0 \end{align}$ passen. Nur ist sie leider völlig falsch. Du scheinst die verbotene Regel $\begin{align} \frac{1}{A+B} = \frac{1}{A} + \frac{1}{B} \ \ \color{red} \text{FALSCH!} \end{align}$ verwendet zu haben. Es ist gar nicht so einfach, die Koeffizienten der Laurentreihe von $\begin{align} \frac{1}{\sin z} \end{align}$ um den Entwicklungspunkt $\begin{align} z_0 = 0 \end{align}$ zu bestimmen. Eine einfache nichtrekursive Formel gibt es meines Wissens nicht. Glücklicherweise ist es oft gar nicht nötig, die vollständig Laurentreihe zu kennen. Es genügt ja, wenn man den Koeffizienten von $\begin{align} z^{-1} \end{align}$ kennt. Hier kann man so rechnen: $\begin{align} \sin z = \frac{1}{z - \frac{z^3}{6} + \ldots} = \frac{1}{z \cdot \left( 1 - \frac{z^2}{6} + \ldots \right)} = \frac{1}{z} \cdot \underbrace{\ \frac{1}{1 - \frac{z^2}{6} + \ldots} \ }_{h(z)} \end{align}$ Die Funktion $\begin{align} h \end{align}$ ist bei $\begin{align} z_0 = 0 \end{align}$ holomorph mit $\begin{align} h(0) = \frac{1}{1} = 1 \end{align}$ . Sie muß daher eine Taylorentwicklung besitzen, die mit $\begin{align} 1 \end{align}$ beginnt: $\begin{align} h(z) = 1 + \ldots \end{align}$ Da, wo die Pünktchen sind, stehen die höheren Potenzen $\begin{align} z,z^2,z^3,\ldots \end{align}$ mit ihren Koeffizienten. Für das Residuum braucht man die aber gar nicht zu kennen. Oben geht die Rechnung so weiter: $\begin{align} \frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} \cdot \left( 1 + \ldots \right) = \frac{1}{z} + \ldots \end{align}$ Zuletzt bedeuten die Pünktchen die höheren Potenzen $\begin{align} z^0 = 1, z , z^2, \ldots \end{align}$ . Und man liest das Residuum bei $\begin{align} z_0 = 0 \end{align}$ als Koeffizient von $\begin{align} \frac{1}{z} \end{align}$ ab. Zugleich sieht man, daß $\begin{align} f(z) \end{align}$ bei $\begin{align} z_0 = 0 \end{align}$ einen Pol erster Ordnung besitzt. Um nun das Residuum bei $\begin{align} z_0 = n \pi \end{align}$ zu bestimmen, kann man einen Trick anwenden: $\begin{align} \sin z = \sin \left( (z - n \pi) + n \pi \right) = (-1)^n \sin \left( z - n \pi \right) \end{align}$ Wenn $\begin{align} z \end{align}$ in der Nähe von $\begin{align} z_0 = n \pi \end{align}$ ist, dann ist $\begin{align} z - n \pi \end{align}$ in der Nähe von $\begin{align} 0 \end{align}$ . Du kannst jetzt die Rechnung durchführen, wie ich es oben vorgemacht habe, mußt nur überall $\begin{align} z - n \pi \end{align}$ statt $\begin{align} z \end{align}$ schreiben. Und natürlich den Vorfaktor $\begin{align} (-1)^n \end{align}$ nicht vergessen.
01.06.2015, 15:41	abrakadabra	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals, alles klar

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