Lemniskate von Bernoulli auflösen

01.06.2015, 16:10

juuuuls

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Lemniskate von Bernoulli auflösen

Hallöchen!

Ich hoffe mir kann jemand ein wenig helfen. Wir sollen die Lemniskate von Bernoulli nach y auflösen (und die Auflösungsfunktion bestimmen).

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} <br /> (x^2+y^2)^2 - 2(x^2-y^2) = 0<br /> x^4+2x^2y^2+y^4 -2x^2 = - 2y^2<br /> x^4+2x^2y^2-2x^2 = -y^4-2y^2<br /> \end{eqnarray*}$

Das Problem, da ist ja immernoch ein y drin. Würde man x = 0 setzten wäre das ganze nach y auflösbar, aber ich bezweifle, dass das die Lösung ist.
Würde man $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ substituieren, dann bringt mich das auch nicht weiter als ich jetzt bin. Da fällt ja dann nur das Quadrat (bzw aus hoch vier wird quadrat) weg. unglücklich

unglücklich

Wäre lieb wenn mich jemand auf den richtigen Weg bringen könnte (:

01.06.2015, 16:30

Gast11022013

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Tipp:

pq-Formel

01.06.2015, 20:40

juuuuls

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Vielen Dank!
Ich habe das jetzt versucht aber irgendwie Hilft mir das großartig nicht weiter unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} x^4+2x^2y^2+y^4-2x^2+2y^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Mit Substitution

$\begin{eqnarray*} x^2+2xy+y^2-2x+2y = 0<br /> y^2+2y+2xy+x^2-2x = 0 \end{eqnarray*}$

mit pq-Formel

$\begin{eqnarray*} y_{1/2} = - \frac{2y+2xy}{2}\pm \sqrt{(\frac{2y+2xy}{2})^2+x^2-2x} = - y+xy\pm \sqrt{ ( \frac{2y+2xy}{2})^2+x^2-2x} \end{eqnarray*}$

01.06.2015, 21:54

Leopold

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Zitat:

Original von juuuuls
Ich habe das jetzt versucht aber irgendwie Hilft mir das großartig nicht weiter unglücklich

unglücklich

Weil du gegen elementare Prinzipien der Gleichungslehre verstößt ...
Wie kann denn beim Anwenden der Lösungsformel die Variable, nach der aufgelöst wird, im Lösungsterm vorkommen? Das gab es ja noch nie.

Du solltest die Substitutionsvariable anders nennen, zum Beispiel

$\begin{align*} y^2 = t \end{align*}$

Da du nach $\begin{align*} y \end{align*}$ und daher zunächst nach $\begin{align*} t \end{align*}$ auflösen willst, ist $\begin{align*} x \end{align*}$ wie ein Parameter zu behandeln. Eine Substitution für $\begin{align*} x \end{align*}$ ist daher nicht erforderlich.

$\begin{align*} t^2 + 2 \left( x^2 + 1 \right) \cdot t + x^4 - 2x^2 = 0 \end{align*}$

Jetzt kannst du mit der Lösungsformel weitermachen. Lies erst die Koeffizienten richtig ab.

01.06.2015, 22:32

juuuuls

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Hammer

Oh, peinlich ...

ich das jetzt so: $\begin{eqnarray*} t_{1/2} = -x^2 \pm \sqrt{2x^4+2x^2} \end{eqnarray*}$

02.06.2015, 06:43

Gast11022013

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Nein.

Zitat:

Lies erst die Koeffizienten richtig ab.

Das hast du nicht getan.
Wie lauten deine Koeffizienten, also dein p und q?

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02.06.2015, 10:43

juuuuls

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Für p hatte ich 2x^2+2 genommen und als q x^4-2x^2

02.06.2015, 11:30

Leopold

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Die stimmen. Aber damit erhält man nicht das $\begin{align*} t \end{align*}$ aus deinem vorigen Beitrag.

02.06.2015, 19:40

juuuuls

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Okay, dann auf ein Neues verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} t_{1/2} = -\frac{2+2x^2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2+2x^2}{2}) ^2+2x^2+x^4 } <br /> t_{1/2} = - 1+x^2 \pm \sqrt{(1+2x^2) ^2+2x^2+x^4 }<br /> t_{1/2} = - 1+x^2 \pm \sqrt{1+4x^4+2x^2+x^4 }<br /> t_{1/2} = - 1+x^2 \pm \sqrt{5x^4+2x^2+1 } \end{eqnarray*}$

Ah, ich hab schon einmal einen Fehler bemerkt Big Laugh

Big Laugh

02.06.2015, 22:44

juuuuls

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Okay, hat sich erledigt. Hab gemerkt, dass ich da noch die binomische Formel auflösen muss und rücksubstituieren muss.

Danke!

02.06.2015, 23:17

Leopold

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Zitat:

Original von juuuuls
$\begin{eqnarray*} t_{1/2} = -\frac{2+2x^2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2+2x^2}{2}) ^2+2x^2 \color{red} +x^4 } \color{black} <br /> t_{1/2} = - 1 \color{red} + x^2 \color{black} \pm \sqrt{(1+ \color{red} 2x^2 \color{black} ) ^2+2x^2+x^4 }<br /> t_{1/2} = - 1+x^2 \pm \sqrt{ \color{red} 1+4x^4 \color{black} +2x^2+x^4 }<br /> t_{1/2} = - 1+x^2 \pm \sqrt{5x^4+2x^2+1 } \end{eqnarray*}$

Keine Zeile ohne Fehler ...

03.06.2015, 08:04

HAL 9000

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Na wir wollen mal fair sein: Bei der Aufstellung der letzten Zeile ist kein neuer Folgefehler entstanden. Dennoch, für eine Hochschulleistung kann man das nur als Desaster bezeichnen.

03.06.2015, 16:01

juuuuls

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Danke für die Mühe (:

Ich weiß auch nicht wo gestern Abend mein Kopf war ... Wie gesagt das mit der binomischen Formel hatte ich noch gemerkt und die zwei ist mir beim abschreiben ausversehen reingerutscht. Hab mich wohl mit der Zeile vertan. Die Vorzeichen-Fehler hätte ich mir auch sparen können, wenn ich Klammern benutzt hätte.

Ich hab nichts gegen eure "harten" Worte. Es ist wie es ist und da muss man durch. Es ist bekanntlich noch kein Meister vom Himmel gefallen.

03.06.2015, 17:02

Gast11022013

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Konntest du denn nun deine Fehler korrigieren und erhältst ein Ergebnis, welchem du vertraust?

03.06.2015, 17:59

juuuuls

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Jap, alles ist nun in Ordnung (:

03.06.2015, 19:08

Gast11022013

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Dann sag doch dein Ergebnis.

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