Aufgabe zu normale algebraische KE

01.06.2015, 19:01

sf108

Aufgabe zu normale algebraische KE

Meine Frage:
Hallo zusammen,
folgende Aufgabe aus dem Buch Algebra von Siegfried Bosch (S.114 A12) beschäftigt mich gerade:

Sei L/K eine normale algebraische Körpererweiterung und f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K[X] ein normiertes irreduzibles Polynom. In L[X] sei $\begin{eqnarray*} f = f_{1} \cdot ... \cdot f_{r} \end{eqnarray*}$ die Primfaktorzerlegung von f, wobei die $\begin{eqnarray*} f_{i} \end{eqnarray*}$ normiert seien. Man zeige, dass es zu je zwei Faktoren $\begin{eqnarray*} f_{i}, f_{j} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ , dieser Zerlegung einen K-Automorphismus $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ von L gibt mit $\begin{eqnarray*} f_{j} = f^{\alpha}_{i} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich hab die Aufgabe bisher nur unter der Voraussetzung lösen können, dass f eine Nullstelle in L hat. Denn dann sind die Faktoren von der Form $\begin{eqnarray*} f_{i} = X - a_{i} \end{eqnarray*}$ da L normale KE ist und es ex (nach 3.4.8(ii) im Buch) ein K-Hom. $\begin{eqnarray*} \alpha_{i,j} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K(a_{i}) \end{eqnarray*}$ nach L' mit $\begin{eqnarray*} \alpha_{i,j}(a_{i}) = a_{j} \end{eqnarray*}$ (L' soll ein alg. Abschluss von L sein). Wegen $\begin{eqnarray*} K(a_{i}) \subseteq L \end{eqnarray*}$ existiert eine Fortsetzung von $\begin{eqnarray*} \alpha_{i,j} \end{eqnarray*}$ beginnend bei L (nach 3.4.9). Da L normale KE ist diese Fortsetzung ein K-Automorphismus mit der geforderten Eigenschaft.

Was mache ich aber falls f keine Nullstelle in L hat?

02.06.2015, 06:23

ollie3

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RE: Aufgabe zu normale algebraische KE
hallo,
ich bin mir nicht sicher, aber kann man nicht auch in diesem fall über den
algebraischen abschluss von L argumentieren, denn dort zerfallen die f_i ja weiter
in linearfaktoren...
gruss ollie3

02.06.2015, 18:20

sf108

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hallo ollie3,
ich finde einen K-Automorphismus vom alg Abschluss von L der die Nullstellen von f nach Belieben permutiert. Wenn die f_i alle gleichen Grad hätten, könnte ich die Nst von f_i auf die Nst von f_j schicken. Dies würde dann die Faktoren vertauschen. Anschließend kann ich den K-Aut. auf L einschränken und erhalte wieder einen K-Aut. da L normal.
Aber die Faktoren müssen doch nicht alle den gleichen Grad haben oder?

02.06.2015, 18:29

Captain Kirk

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Zitat:

Aber die Faktoren müssen doch nicht alle den gleichen Grad haben oder?

Doch müssen sie.

Zitat:

ich finde einen K-Automorphismus vom alg Abschluss von L der die Nullstellen von f nach Belieben permutiert.

Nur wenn die Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe ist. Sonst ist es nicht ganz nach Belieben.

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