Wegintegral berechnen

01.06.2015, 23:54

Lucy67

Wegintegral berechnen

Berechne das Wegintegral $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \Phi(x) dx \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \gamma: [0, 2 \pi ] -> \mathbb{R}^3, \gamma(t) = \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi: \mathbb{R}^3 -> L( \mathbb{R}^3, \mathbb{R} ), \Phi \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2+5y+3yz \\ 5x+3xz-2 \\ 3xy-4z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ein Gradientenfeld ist (der Teil sollte stimmen).

Wir hatten in der Vorlesung die Formel $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \Phi (x) dx = (f(\gamma(b))-f(\gamma(a)) \end{eqnarray*}$

Also muss ich eine Stammfunktion f finden.

$\begin{eqnarray*} f(x)= \int 3xy-4z dz = 3xyz-2z^2+c_1(x)+c_2(x) \end{eqnarray*}$

Nach x ableiten:

$\begin{eqnarray*} df/dx = 3yz+c_1 ' (x) = x^2+5y+3yz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => c_1 (x) = \int x^2+5y dx = \frac{x^3}{3} + 5xy+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>f(x,y,z)=3xyz-2z^2+ \frac{x^3}{3} + 5xy +c_2(y)+c \end{eqnarray*}$

nach y ableiten:

$\begin{eqnarray*} df/dy = 3xz+5x+c_2'(y) = 5x + 3xz -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>c_2(y)= \int -2 dy = -2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>f(x,y,z)=3xyz+5xy+ \frac{x^3}{3} -2y -2z^2 +c \end{eqnarray*}$ ist das Potential von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$

Und jetzt müsste ich nur die Formel $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \Phi (x) dx = (f(\gamma(b))-f(\gamma(a)) \end{eqnarray*}$ anwenden.

Ist das so richtig?

02.06.2015, 14:36

Mulder

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RE: Wegintegral berechnen

Zitat:

Original von Lucy67
Und jetzt müsste ich nur die Formel $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \Phi (x) dx = (f(\gamma(b))-f(\gamma(a)) \end{eqnarray*}$ anwenden.

Ja, mit $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b =2 \pi \end{eqnarray*}$ .

Man hätte das Integral auch direkt berechnen können, ohne ein Potential zu bestimmen, siehe Kurvenintegral zweiter Art . Aber über das Potential geht es natürlich auch. Vielleicht ist das auch viel einfacher, ich hab mir jetzt nicht angeschaut, was bei der Bestimmung des Skalarproduktes für ein Ausdruck entstanden wäre, den man dann noch hätte integrieren müssen.

02.06.2015, 18:55

Khaleb

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RE: Wegintegral berechnen
Nachdem man schon die existenz eines skalaren potentials bewiesen hat hätte man dann wegen wegunabhängigkeit einen anderen integrationsweg wählen können. Die kurve beschreibt ja eine spirale um die z achse. Angeboten hätte sich das wegintgral vom unteren punkt in gerader linie nach oben zum oberen punkt der spirale.kann man aber noch immer als kontrolle benutzen.

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