Funktion aufstellen, Fläche berechnen

02.06.2015, 09:55

Matheprofi22

Funktion aufstellen, Fläche berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

lang lang ist's her seit dem Abitur smile

.
Ich bräuchte nochmal eine Auffrischung, und zwar habe ich folgendes Problem:

Ich habe die Punkte 2er Graphen:
1. (1/4), (2/6), (3/8), (4/6), (5/8), (6/12), (7/10), (8/10), (9/8), (10/6)
2. (1/6), (2/8), (3/10), (4/8), (5/10), (6/14), (7/12), (8/12), (9/10), (10/8)

Jetzt möchte ich im ersten Schritt die Funktionen dafür aufstellen h(x), g(x).
Im zweiten Schritt soll nun die Fläche der beiden berechnet werden (Integral).

Meine Ideen:
Ich habe im Anhang die Graphen mit Excel zeichnen lassen. Die graue Fläche soll berechnet werden.

Am besten wäre es sogar, wenn es dafür ein Programm dafür geben würde, da ich ähnliche Rechnungen bis zu 20mal durchführen muss.

Danke für eine Rückmeldung!

[attach]38259[/attach]

02.06.2015, 10:13

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich sind deine Funktionen stückweise linear.
Rekonstruiere sie also auf den entsprechenden Intervallen durch lineare Funktionen. Die Fläche lässt sich dann leicht berechnen.

Wenn du das jedoch 20 mal machen musst, dann wird es ziemlich aufwendig, alleine weil du dann
280 lineare Funktionen aufstellen musst.

02.06.2015, 10:16

Matheprofi22

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, daran habe ich auch schon gedacht.
Deswegen hatte ich mir die Frage gestellt:

1. Kann man aus so vielen Punkten eine Funktion aufstellen oder ist das gar nicht möglich?
2. Gibt es ein Programm was das für mich macht?

Gruß

02.06.2015, 10:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@Matheprofi22

Die obere Kurve in deiner Excel-Grafik entspricht aber nicht den Datenpunkten von 2, sondern den kumulierten Werten aus 1.+2., d.h. den Punkten

(1/4+6), (2/6+10), ... , (10/6+8)

Wenn du also wirklich nur die grauen Fläche bestimmen willst, dann sind die Datenwerte aus 1. völlig irrelevant, und es ist einfach die Trapezsumme von 2. zu bestimmen. Wenn ich deren Datenwerte mit $\begin{align*} (x_k,y_k) \end{align*}$ von $\begin{align*} k=1,\ldots,n \end{align*}$ bezeichne, dann ist das

$\begin{align*} A = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{y_k+y_{k+1}}{2}\cdot (x_{k+1}-x_k) \end{align*}$

Bei horizontal gleichabständigen Punkten, d.h. $\begin{align*} x_{k+1}-x_k = \Delta x \end{align*}$ (wie hier $\begin{align*} \Delta x = 1 \end{align*}$ ) vereinfacht sich das zu

$\begin{align*} A = \Delta x\cdot \sum_{k=1}^{n-1} \frac{y_k+y_{k+1}}{2} = \Delta x\cdot \left( \frac{y_1+y_n}{2} + \sum_{k=2}^{n-1} y_k \right) \end{align*}$ .

02.06.2015, 10:19

Matheprofi22

Auf diesen Beitrag antworten »

Also Stückweise die lineare Funktion aufstellen, das kriege ich hin...
Aber kann man so welche Funktionen auch als eine Funktion darstellen oder muss ich immer nur Teilabschnitte betrachten?

02.06.2015, 10:20

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Um eine lineare Funktion, also eine Funktion der Form

y=mx+b

zu rekonstruieren benötigst du nur zwei Punkte die auf der Geraden liegen.
Dazu sind dann jeweils der "Anfang" und das "Ende" des jeweiligen Intervall zu wählen.
Die Punkte hast du ja gegeben.

Die erste lineare Funktion rekonstruierst du also aus den Punkten (1|4) und (2|6).
Die zweite aus den Punkten (2|6) und (3|8) usw.

(Edit: Beachte hier den Hinweis von HAL, dass es sich um kummulierte Werte handelt. So genau habe ich mir deine Grafik nicht angesehen.)

Das Gleichungssystem kannst du dir natürlich von einem Programm lösen lassen. Es sollte aber händisch vielleicht nicht mehr Aufwand sein, als es ins Programm einzugeben.
Liegt natürlich daran wie geübt du noch bist.

Ein Programm was es dir automatisch macht, kenne ich nicht. Ich weiß auch nicht genau was du von dem Programm erwartest.
Sicherlich wäre Geogebra geeignet. Du markierst die Punkte und legst dann geraden dadurch. Das Programm sagt dir dann die Funktionsgleichung.
Die Fläche sollte sich dann auch berechnen lassen.

02.06.2015, 10:32

Matheprofi22

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das mit den kumulierten werten ist mein Fehler. Das sollte so nicht sein.

Naja, ich kriege die Funktionen wie gesagt schon berechnet (y=m*x+b), aber der zeitliche AUfwand, der dahinter steckt ist ja enorm.
Daher habe ich mir erhofft, dass es ein Tool gibt, welches die Funktion aufstellt.

@HAL 9000
Vllt. bin ich da gerade auf dem Holzweg, aber ich hätte die Fläche mit folgender Formel berechnet:

[attach]38260[/attach]

02.06.2015, 11:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sicher, aber jetzt muss ich zum zweiten Mal erwähnen, dass deine obere Kurve bereits die kumulierte Variante ist:

D.h., wenn deine erste Datenreihe die Funktion $\begin{align*} f_1 \end{align*}$ repräsentiert, und die zweite Datenreihe $\begin{align*} f_2 \end{align*}$ , dann plottest du dort $\begin{align*} g(x)=f_1(x) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} h(x)=f_1(x)+f_2(x) \end{align*}$ . Und dann ist die graue Fläche gleich

$\begin{align*} A = \int\limits_a^b (h(x)-g(x)) ~ \dd x \stackrel{!!!}{=} \int\limits_a^b f_2(x) ~ \dd x \end{align*}$ .

Ist es jetzt endlich angekommen, was ich mit

Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du also wirklich nur die grauen Fläche bestimmen willst, dann sind die Datenwerte aus 1. völlig irrelevant, und es ist einfach die Trapezsumme von 2. zu bestimmen.

gemeint habe?

P.S.: Wenn du es doch nicht kumuliert gemeint hast, dann solltest du nicht so einen falschen Graphen in deinem Beitrag platzieren. unglücklich

02.06.2015, 11:07

Matheprofi22

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte ja nicht umsonst geschrieben, dass das mit den kumulieren Werten mein Fehler war.
Nein, es sollen natürlich nicht die kumulierten Werte sein.

Die Rechnung habe ich nun verstanden, schade, dass es kein Programm gibt in den man die Punkte eintragen kann und anschließend die Fläche zwischen den Graphen bekommt...

02.06.2015, 11:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ehrlich, die genannte Trapezsumme ist in deinem Excel eins fix drei berechenbar - da dauert ja jede Suche nach einem Programm länger.

02.06.2015, 11:30

Matheprofi22

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber wenn es mir also so klar wäre, hätte ich wohl die Hilfe hier im Forum nicht aufgesucht...
Danke für deine Hilfe! Das hat mir geholfen!

Wie berechne ich die Trapezsumme in Excel? Google, hat mir da leider nichts besonderes rausgeschmissen...

Gruß

02.06.2015, 11:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal ganz, ganz langsam: Du hast zwei Kurven $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} h(x) \end{align*}$ , die beide stückweise linear sind mit Knickpunkten an den Stellen $\begin{align*} x_1,\ldots,x_n \end{align*}$ . Die graue Fläche zwischen den beiden setzt sich zusammen aus $\begin{align*} (n-1) \end{align*}$ Trapezen:

Trapez Nr. $\begin{align*} k \end{align*}$ hat dabei die Höhe $\begin{align*} h=x_{k+1}-x_k \end{align*}$ und die Längen der beiden parallelen Grundseiten sind $\begin{align*} a=h(x_k)-g(x_k) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} c=h(x_{k+1})-g(x_{k+1}) \end{align*}$ . Daher ist die Fläche eines solchen Einzeltrapez gleich $\begin{align*} A_k = \frac{h}{2}(a+c) = \frac{x_{k+1}-x_k}{2}\left( h(x_k)-g(x_k) + h(x_{k+1})-g(x_{k+1}) \right) \end{align*}$ . Und das wird jetzt noch von $\begin{align*} k=1,\ldots,n-1 \end{align*}$ summiert, um die Gesamtfläche zwischen den beiden Kurven zu erhalten.

Gilt so natürlich nur, sofern $\begin{align*} h \end{align*}$ durchweg oberhalb von $\begin{align*} g \end{align*}$ verläuft, d.h. $\begin{align*} g(x_k)\leq h(x_k) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k=1,\ldots,n \end{align*}$ gilt.

Multiplikation und Addition/Subtraktion in Excel-Formeln einzutippen ist dir doch nicht fremd, oder? Und wie man die Werte einer Spalte summiert?

P.S.: Vielleicht ist ja gar nicht der mathematische Teil (der jetzt hier erschöpfend behandelt wurde), der dir die meisten Probleme bereitet, sondern grundlegend das Arbeiten mit Excel-Sheets? Dafür wäre allerdings ein anderes Forum oder zumindest Unterforum zuständig.

02.06.2015, 12:09

Matheprofi22

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab es hinbekommen!
Danke für deine Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

Funktion aufstellen, Fläche berechnen

Verwandte Themen