Aufgabe zu Kreisteilungspolynomen

02.06.2015, 10:10

r4ndom19

Aufgabe zu Kreisteilungspolynomen

Hallo,

ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht recht wetierkomme.
$\begin{eqnarray*} \zeta=e^\frac{2\pi i}{p^k}, K=\mathbb{Q}[\zeta], \mathbb{O}_{K} \text{ der Ganzheitsring von K} \end{eqnarray*}$

weiter gilt ggt(r, p)=1

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} p\mathbb{O}_K=(1-\zeta)^d\mathbb{O}_K \end{eqnarray*}$ (I)
Als Tip wurde angegeben folgendes zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-\zeta^r}{1-\zeta}\in \mathbb{O}_K^{\times} \end{eqnarray*}$

Das habe ich auch schonmal versucht in dem ich zeige, dass das inverse davon in O_K liegt,
es gilt meiner Meinung nach:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\zeta}{1-\zeta^r}=\sum\limits_{l=0}^{a-1} \zeta^{rl} \end{eqnarray*}$

Für ein a mit $\begin{eqnarray*} \zeta=\zeta^{ar} \end{eqnarray*}$
(Das konnte man relativ einfach mit der Partialsumme für geometrische Reihen ermitteln)

Es stellt sich nun die Frage wie man zeigt, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l=0}^{a-1} \zeta^{rl}\in \mathbb{O}_K \end{eqnarray*}$
Und wie ich daraus folgere, dass Identität (I) gilt.

02.06.2015, 10:44

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mir sind einige Bezeichnungen bei dir nicht klar. Gibt's irgendwelche Bedingungen an k? Was ist d?

Zitat:

Es stellt sich nun die Frage wie man zeigt, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{l=0}^{a-1} \zeta^{rl}\in \mathbb{O}_K \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \zeta \in \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$

02.06.2015, 10:58

r4ndom19

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah also mit K meine ich immer Q konjugiert Zeta. (Auch wenn das K mal nicht in Latex da steht Augenzwinkern

)
Oh, d habe ich vergessen. d ist der Grad des p^k-ten Kreisteilungspolynoms. Da fällt mir auf ich habe nicht erwähnt, dass p auch eine Primzahl sein soll. (sorry, hier gibts echt viele Bezeichnungen...)

Ach stimmt Zeta ligt ja schon drin, dann liegt auch meine Summe da drin. Wie kann ich dann von da an die gesuchte Identität folgern...?

02.06.2015, 11:02

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe k - wie klein k - geschrieben.

Zitat:

Q konjugiert Zeta

Meinst du evtl. adjungiert?

Zitat:

Oh, d habe ich vergessen. d ist der Grad des p^k-ten Kreisteilungspolynoms.

Das ist hier ziemlich zentral.
Was ist die Norm von $\begin{eqnarray*} 1 -\zeta \end{eqnarray*}$ ?

02.06.2015, 11:20

r4ndom19

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja, k ist eine natürliche Zahl. Und ich meine adjungiert, richtig. Ist mit der Norm hier die klassische euklidsische Norm gemeint?

02.06.2015, 11:26

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist mit der Norm hier die klassische euklidsische Norm gemeint?

Nein, wir sind in der Zahlentheorie: Die Norm von Körpererweiterungen.

02.06.2015, 11:43

r4ndom19

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ich bin mir nicht sicher. Wenn man das Minmalpolynom kennt gilt doch:
$\begin{eqnarray*} N(1-\zeta)=(-1)^{d*r}a_0^{r} \end{eqnarray*}$ Wobei d der Grad des Minimalpolynoms ist und r der Grad der Körpererweiterung. a_0 ist das Absolutglied des Minimalpolynoms.
Ich bin mir mit dem Grad von r nicht sicher. Ich habe die vermutung dass das p^k-te Kreisteilungspolynom das Minimalpolynom ist. dann wäre
$\begin{eqnarray*} N(1-\zeta)=(-1)^{d*r}a_0^{r} \end{eqnarray*}$
Dann wäre a_0=1 und d=(p-1)*(p^(n-1))

Also $\begin{eqnarray*} N(1-\zeta)=(-1)^{d*(p-1)*(p^{n-1})} \end{eqnarray*}$

02.06.2015, 11:52

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich habe die vermutung dass das p^k-te Kreisteilungspolynom das Minimalpolynom ist

$\begin{eqnarray*} 1- \zeta \end{eqnarray*}$ ist keine Nullstelle dieses Polynoms.
Gehe im Wikipedia-Artikel eins nach unten. (und bitte achte nächstes mal darauf wenn sich Bezeichnungen überschneiden)

Ferner wäre nach deiner Rechnung $\begin{eqnarray*} 1- \zeta \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} _K \end{eqnarray*}$ invertierbar.

02.06.2015, 11:59

r4ndom19

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es nicht, was Körpertheorie angeht habe ich so gut wie keine Ahnung..

02.06.2015, 12:10

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich weiß es nicht, was Körpertheorie angeht habe ich so gut wie keine Ahnung..

Was erwartest du als Reaktion auf diesen Post?

Wenn dir die Grundlagen fehlen musst du sie halt nachholen.

02.06.2015, 12:15

r4ndom19