Kongruenzsatz SsW

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Samyyy Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzsatz SsW
Hallo,

ich möchte gerne auf "analytischem" Wege den Kongruenzsatz SsW beweisen. Genauer seien zwei Dreiecke gegeben mit:

1)
2)
3)
4) .

Nun möchte ich gerne Zeigen, dass auch die anderen Winkel und die andere Seite übereinstimmen. Dabei ist der Winkel zwischen zwei Vektoren v,w definiert als die folgende Zahl:



M.a.W. sind zwei Winkel gleich, wenn die Entsprechende Zahl oben gleich ist.

Ich habe nun viel herumgespielt, aber leider fehlt mir die entscheidende Idee. Alles was ich zeigen konnte ist: . Somit muss man nur noch eine der beiden Sachen zeigen.

Kann mir jemand weiterhelfen? Würde mich sehr freuen.

ps: Alle Punkte seien in der euklidischen Ebene und die Norm bzw. das Skalarprodukt sind Standard euklidisch.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gleich in beiden Dreiecken sind die Streckenlängen sowie der Winkel . Laut Kosinussatz müssen somit sowohl die Strecke als auch Lösung der Gleichung (bzgl. x)



sein, das ergibt umgestellt eine quadratische Gleichung in Normalform

.

Wegen des außerdem vorausgesetzten ist , damit hat Gleichung (*) zwei reelle Lösungen, von denen gemäß Vieta eine positiv und die andere negativ sind. Da als Streckenlänge nur die positive Lösung in Frage kommt, folgt .


P.S.: Das ist auch der Unterschied zum Fall , also sSw: Dort kann es auch vorkommen, dass (*) zwei unterschiedliche positive Lösungen hat, womit keine zwingende Kongruenz von und mehr vorliegt.
 
 
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