Spannen zwei Basen den selben Raum auf?

03.06.2015, 09:05

checkmathenicht

Spannen zwei Basen den selben Raum auf?

Gegeben ist ein Vektorraum V . u1,2,3 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V
Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} span\left\{ u1,u1-u2,u1+u2+u3\right\} = span\left\{ u1+u2,u2+u3,u1+u3\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Idee ist,auf beiden Seiten jehweils von jedem Vektor u1,u2,u3 zu addieren/subtrahieren
$\begin{eqnarray*} span\left\{ u1,u1-u2,u1+u2+u3\right\} = span\left\{ u1+u2,u2+u3,u1+u3\right\} \end{eqnarray*}$ |+u2
$\begin{eqnarray*} span\left\{ u1+u2,u1-2*u2,u1+2*u2+u3\right\} = span\left\{ u1+2*u2,2*u2+u3,u1+u3\right\} \end{eqnarray*}$ |-u1
$\begin{eqnarray*} span\left\{ u2,0,2*u2+u3\right\} = span\left\{ 2*u2,2*u2+u3,u3\right\} \end{eqnarray*}$
.
.
.
Ist das der richtige Weg oder laufe ich da in die falsche Richtung?

03.06.2015, 10:04

klarsoweit

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RE: Spannen zwei Basen den selben Raum auf?
Deine Umformungen ergeben so keinen Sinn. Rein formal mußt du zeigen, daß jeder Vektor aus dem 1. Span im 2. Span enthalten ist und umgekehrt.

03.06.2015, 10:35

checkmathenicht

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RE: Spannen zwei Basen den selben Raum auf?
Ok, danke.
Reicht eineRichtung oder muss ich beide Richtungen zeigen?
Ich habe jetzt:
$\begin{eqnarray*} span\left\{ u1,u1-u2,u1+u2+u3\right\} = span\left\{ u1+u2,u2+u3,u1+u3\right\} \end{eqnarray*}$
1.Den ersten Vektor auf der Rechten seite(u1+u2) kann ich darstellen indem ich mir den ersten Vektor der LInken Seite(u1) nehme, vom zweiten Vektor(u1-u2) zweimal abziehe und dann mit -1 multipliziere. (könnte ich auch einfach sagen ich multipliziere in den zweiten Vektor u2 mit -1, wäre kürzer?)
2. Den zweiten von rechts(u2+u3) bekomme ich indem ich wenn ich von dem dritten Vektor im linken(u1+u2+u3) den ersten Vektor vom linken(u1) abziehe((u1+u2+u3)-u1)
3. den dritten Vektor von rechts(u1+u3) bekomme ich dann in dem ich den Ersten links(u1) vom Zweiten links(u1-u2) abziehe und das Ergebnis(-u2) dann vom Dritten von links(u1+u2+u3) abziehe

03.06.2015, 11:01

klarsoweit

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RE: Spannen zwei Basen den selben Raum auf?

Zitat:

Original von checkmathenicht
Reicht eineRichtung oder muss ich beide Richtungen zeigen?

Du mußt beide Richtungen zeigen.

Im Rest deinen Beitrags wäre es einfacher, wenn du statt der verbalen Beschreibung einfach eine Gleichung scheibst. Z.B.:
$\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 = -1 \cdot (u_1 - u_2) + 2u_1 \end{eqnarray*}$

03.06.2015, 11:29

HAL 9000

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Ein etwas systematischeres Vorgehen, wenn man des Probierens leid ist: Setzen wir $\begin{align*} u:=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{align*}$ , so gilt

$\begin{align*} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_1-u_2 \\ u_1+u_2+u_3 \end{pmatrix} = A\cdot u \end{align*}$ mit $\begin{align*} A:=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \end{align*}$ , sowie $\begin{align*} \begin{pmatrix} u_1+u_2 \\ u_2+u_3 \\ u_1+u_3 \end{pmatrix} = B\cdot u \end{align*}$ mit $\begin{align*} B:=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{align*}$ .

Für die zu zeigende Gleichheit der beiden linearen Hüllen ist es nun hinreichend, die Invertierbarkeit von $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ zu zeigen, und dafür wiederum reicht $\begin{align*} \det(A)\neq 0,\det(B)\neq 0 \end{align*}$ .

03.06.2015, 12:42

checkmathenicht

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RE: Spannen zwei Basen den selben Raum auf?
Danke, danke, danke smile

03.06.2015, 13:56

HAL 9000

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Ich möchte nochmal das hinreichend betonen - es ist bei anderen $\begin{align*} A,B \end{align*}$ und ansonsten derselben Situation durchaus nicht notwendig, dass die beiden invertierbar sind: Tritt ein Rangverlust ein, so sagt $\begin{align*} \det(A)=\det(B)=0 \end{align*}$ zunächst mal nichts darüber aus, ob die beiden linearen Hüllen gleich sind.

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