Ableiten einer Funktion in einer Funktion

03.06.2015, 10:53

Viktor89

Ableiten einer Funktion in einer Funktion

Hallöle!

Zum lösen einer Differentialgleichung ersten Grades ( $\begin{eqnarray*} y=x(1-x)y'+x^2+1 \end{eqnarray*}$ ) muss, nachdem der Homogene Teil gelöst wurde ( $\begin{eqnarray*} y_{h}=\frac{cx}{x-1} \end{eqnarray*}$ ), die Funktion

$\begin{eqnarray*} y_{p}=\frac{c_{(x)} x}{x-1} \end{eqnarray*}$ Abgeleitet werden.

Raus kommt dann (laut Übungsleiter):

$\begin{eqnarray*} y'_{p}=\frac{(c'x+c)(x-1)-c_{(x)} }{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe ich, dass die Quotientenregel angewendet werden muss und also auch, warum der hintere Teil des Zählers so da steht, wie er eben da steht.

Aber ich verstehe nicht, wie der vordere Teil, also $\begin{eqnarray*} (c'x+c) \end{eqnarray*}$ entsteht:

Wo kommt das c' her?
Warum steht da ein c?

Würdet ihr mir bitte weiterhelfen, am besten mit einer Schritt-für-Schritt-Ableitung?! Gott

Danke!

03.06.2015, 11:55

HAL 9000

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Benutzt wurde schlicht die Quotientenregel $\begin{align*} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v-uv'}{v^2} \end{align*}$ bezogen auf $\begin{align*} u=c(x)\cdot x \end{align*}$ und $\begin{align*} v=x-1 \end{align*}$ . Um nun aber $\begin{align*} u \end{align*}$ abzuleiten, muss man bei diesem Produkt natürlich auch die Produkregel anwenden, und die lautet hier nun mal $\begin{align*} u' = c'(x)\cdot x + c(x)\cdot x' = c'(x)\cdot x + c(x) \end{align*}$ , oder wenn man die Argumente von $\begin{align*} c \end{align*}$ und $\begin{align*} c' \end{align*}$ weglässt eben $\begin{align*} u'=c'x+c \end{align*}$ . Ich nehme mal an, das ist es, was dich verwirrt: Dass man dann einfach die Argumente (x) in der Angabe "weglässt" - aber sie wirken im Hintergrund dennoch weiter. Augenzwinkern

06.06.2015, 14:44

Viktor89

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich nehme mal an, das ist es, was dich verwirrt: Dass man dann einfach die Argumente (x) in der Angabe "weglässt" - aber sie wirken im Hintergrund dennoch weiter. Augenzwinkern

Genau das war mein Problem hier, ja! Wenn man auf dem Terrain nicht ganz sicher ist, können selbst solche Kleinigkeiten ziemlich viel Verwirrung stiften...

Es ist also möglich, diese Argumente weg zu lassen, wenn man keine Lust hat, sie dauernd mitzuschreiben? Aber woher weiß man denn dann, dass c eigentlich eine Funktion ist und keine Konstante?

06.06.2015, 15:14

Viktor89

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Und hier hat sich noch eine Frage aufgetan, allerdings ein wenig früher in der Aufgabe, bei der Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Die macht mein Prüfungsleiter so:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x-x^2} \, dx \Rightarrow \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{1}{x-x^2} \Rightarrow \frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)} = \frac{-1}{x-x^2} \end{eqnarray*}$

Das ist im Großen und Ganzen schon klar, aber was ich gar nicht verstehe, ist, warum er im letzten Schritt aus dem positiven rechten Teil der Gleichung einen negativen Teil macht?!?!
Da komme ich echt nicht mehr mit. Da das aber den gesamten Verlauf der Aufgabe ändert, wird er sich wohl etwas dabei gedacht haben, oder?

Danke für deine Hilfe nochmal!

06.06.2015, 15:16

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Viktor89
Aber woher weiß man denn dann, dass c eigentlich eine Funktion ist und keine Konstante?

Das "weiß" man nicht, sondern das ist nur ein Ansatz. Der wird dadurch motiviert, dass alle Terme in der vollständigen DGl, in denen c(x) nicht abgeleitet wird, verschwinden, da diese gerade die homogene DGL erfüllen. Übrig bleiben nur noch der Term mit c'(x) und die Inhomogenität, was dann am Schluss integriert werden muss.

Edit: Es muss übrigens heißen

$\begin{eqnarray*} y'_{p}=\frac{[c(x)x]^{'}(x-1)-c(x)x[x-1]^{'}} {(x-1)^2}=\frac{(c'x+c)(x-1)-c{\color{red}x}} {(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

11.06.2015, 14:15

Viktor89

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Hallo RavenOnJ,

sorry, dass meine Antworten immer so lange auf sich warten lassen, habe grad viel um die Ohren mit Praktika und nebenbei arbeiten...

Also das mit den c ist mir jetzt relativ klar.

Womit ich aber immer noch Probleme habe, ist das, was ich im Post vor dir geschrieben habe:

Zitat:

Original von Viktor89
Und hier hat sich noch eine Frage aufgetan, allerdings ein wenig früher in der Aufgabe, bei der Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Die macht mein Prüfungsleiter so:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x-x^2} \, dx \Rightarrow \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{1}{x-x^2} \Rightarrow \frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)} = \frac{-1}{x-x^2} \end{eqnarray*}$

Das ist im Großen und Ganzen schon klar, aber was ich gar nicht verstehe, ist, warum er im letzten Schritt aus dem positiven rechten Teil der Gleichung einen negativen Teil macht?!?!
Da komme ich echt nicht mehr mit. Da das aber den gesamten Verlauf der Aufgabe ändert, wird er sich wohl etwas dabei gedacht haben, oder?

Danke für deine Hilfe nochmal!

Hast du/ihr dazu vielleicht auch noch eine Erklärung?

Lg
Viktor

11.06.2015, 14:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Viktor89
$\begin{eqnarray*} \frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)} = \frac{-1}{{\color{red}x-x^2}} \end{eqnarray*}$

Schau mal genau hin:

Bestimmt steht da rechts $\begin{align*} \frac{-1}{x^2-x} \end{align*}$ , zumindest war das sicher die Absicht, damit rechts wie links der gleiche Nenner steht und somit die Zähler direkt gleichgesetzt werden können.

11.06.2015, 16:25

Viktor89

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Grundsätzlich hast du recht, da sollte tatsächlich $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{x^2-x} \end{eqnarray*}$ stehen, sonst würde das ja gar keinen Sinn ergeben Hammer

Aber der Teil, der mich am meisten verwirrt, ist der hier (rot markiert)

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x-x^2} \, dx \Rightarrow \frac{A}{x} + \frac{B}{{\color{red}x-1}} = \frac{1}{x-x^2} \Rightarrow \frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)} = \frac{-1}{x^2-x} \end{eqnarray*}$
Dass man dann den rechten Teil der Gleichung mit (-1) multiplizieren muss, ist klar.

Aber sollte da nicht eigentlich stehen: $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x} + \frac{B}{{\color{red}1-x}} = \frac{1}{x-x^2} \end{eqnarray*}$ ?

Ich meine, der ursprüngliche Bruch ist doch auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(1-x)} \end{eqnarray*}$

11.06.2015, 17:18

HAL 9000

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Wie bitte??? Der Ansatz für die PBZ ist

$\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{1}{x-x^2} \end{align*}$ ,

und jetzt wird auf der rechten Seite Zähler und Nenner mit $\begin{align*} (-1) \end{align*}$ erweitert - die Gleichung bleibt dabei dieselbe!

Mit welcher Begründung willst du denn jetzt partiell in nur einem Summanden (!) links das Vorzeichen wechseln - das ist doch Irrsinn. geschockt

11.06.2015, 17:56

Viktor89

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wie bitte??? Der Ansatz für die PBZ ist

$\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{1}{x-x^2} \end{align*}$ ,

und jetzt wird auf der rechten Seite Zähler und Nenner mit $\begin{align*} (-1) \end{align*}$ erweitert - die Gleichung bleibt dabei dieselbe!

Mit welcher Begründung willst du denn jetzt partiell in nur einem Summanden (!) links das Vorzeichen wechseln - das ist doch Irrsinn. geschockt

Da komme ich eben nicht mit. Ich dachte der Ansatz wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-x^2} \Rightarrow \frac{1}{x(1-x)} \Rightarrow PBZ: \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} \Rightarrow \frac{A(1-x)+Bx}{x(1-x)} \end{eqnarray*}$

P.S. wenn es um Mathematik geht, bin ich dem Irrsinn manchmal näher als es gesund wäre traurig

11.06.2015, 21:42

HAL 9000

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Sagen wir es so:

Du kannst als Ansatz $\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{1}{x-x^2} \end{align*}$ wählen, du kannst aber auch $\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} = \frac{1}{x-x^2} \end{align*}$ (dann mit einem anderen $\begin{align*} B \end{align*}$ dann!) wählen - wie du willst.

Hast du dich aber erstmal für einen Ansatz entschieden und die Rechnung dazu begonnen, kannst du nicht mitten im Rennen die Pferde wechseln - das siehst du doch ein?

Der Ansatz mit $\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} \end{align*}$ hat den Vorteil, dass er hinsichtlich der Stammfunktion vom Vorzeichen her "konsistenter" ist, d.h. die Stammfunktion ist dann $\begin{align*} A\ln|x| + B\ln|x-1| \end{align*}$ .

Bei $\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} \end{align*}$ hätte man dann dagegen die Stammfunktion $\begin{align*} A\ln|x| - B\ln|1-x| \end{align*}$ ...

13.06.2015, 20:23

Viktor89

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sagen wir es so:

Du kannst als Ansatz $\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} = \frac{1}{x-x^2} \end{align*}$ wählen, du kannst aber auch $\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} = \frac{1}{x-x^2} \end{align*}$ (dann mit einem anderen $\begin{align*} B \end{align*}$ dann!) wählen - wie du willst.

Hast du dich aber erstmal für einen Ansatz entschieden und die Rechnung dazu begonnen, kannst du nicht mitten im Rennen die Pferde wechseln - das siehst du doch ein?

Der Ansatz mit $\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} \end{align*}$ hat den Vorteil, dass er hinsichtlich der Stammfunktion vom Vorzeichen her "konsistenter" ist, d.h. die Stammfunktion ist dann $\begin{align*} A\ln|x| + B\ln|x-1| \end{align*}$ .

Bei $\begin{align*} \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} \end{align*}$ hätte man dann dagegen die Stammfunktion $\begin{align*} A\ln|x| - B\ln|1-x| \end{align*}$ ...

Okay, jetzt komme ich gar nicht mehr mit... Hammer

Also das mit dem "nicht die Pferde wechseln" verstehe ich durchaus, aaaaaber:

Wenn ich die Partialbruchzerlegung mache, ist doch der "Witz", dass meine Nenner, wenn man sie miteinander multipliziert, den ursprünglichen Nenner ergeben, oder habe ich da was falsch verstanden?

Demnach müsste doch der einzige Weg, die PBZ zu machen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-x^2} \Rightarrow \frac{1}{x(1-x)} \end{eqnarray*}$ sein?

Wenn ich das mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)} \end{eqnarray*}$ machen würde, wäre das doch was komplett anderes?!? Bzw halt dann der Gleiche Bruch, nur mit (-1) multipliziert. Aber trotzdem etwas anderes...

Und dass die Stammfunktionen dann andere wären, ist ja mein ganzes Dilemma... Oder wäre dann am Ende, wenn ich $\begin{eqnarray*} y_{h} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{p} \end{eqnarray*}$ zusammenführe, das selbe wie für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x-1)} \end{eqnarray*}$ ?

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