Linienintegral über zeitabhängige Vektorfelder

03.06.2015, 12:53	e1128631	Auf diesen Beitrag antworten »
Linienintegral über zeitabhängige Vektorfelder Hallo, ich versuche mich gerade an den Rechenaufgaben zu Kapitel "16: Linienintegrale" Jänich "Mathematik 1". Allerdings scheitere ich an folgender Aufgabe (R16.2): "... berechnen Sie ... die Arbeit $\begin{eqnarray} A=\int^T_0 \vec F(t,\vec r)d \vec r \end{eqnarray}$ vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt T für ein Teilchen der Ladung q, das sich im R^3 auf einer Bahn $\begin{eqnarray} \vec r(t)=\vec vt \end{eqnarray}$ mit konstanter Geschwindigkeit v in einem zeitabhängigen elektrischen Feld E bewegt, wobei $\begin{eqnarray} \vec F=q\vec E(t,\vec r)=qE_0 \vec e_3 cos(kx_1 - \omega t) \end{eqnarray}$ sein soll." Mein Problem ist nun, dass die Integrationsgrenzen hier keine Ortsangaben, sondern Zeitangaben sind und ich nicht weiss wie ich damit umgehen soll. Ich wäre wie folgt vorgegangen, allerdings sehe ich den Zusammenhang mit der Theorie nicht unmittelbar, da sonst bei Linienintegralen ja über eine Kurve integriert wird und nicht über die Zeit: $\begin{eqnarray} A=qE_0\vec e_3 \int^T_0 cos(kx_1 - \omega t) d\vec r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_1=v_1t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\vec r=\vec v \end{eqnarray}$ würde ich das Linienintegral nun in ein Integral der Form $\begin{eqnarray} qE_0\vec e_3 \int^T_0 cos((kv_1 - \omega)t) \vec v dt \end{eqnarray}$ umschreiben.
03.06.2015, 13:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linienintegral über zeitabhängige Vektorfelder Du hast das richtig gemacht! Die Schreibweise $\begin{eqnarray} A=\int^T_0 \vec F(t,\vec r)d \vec r \end{eqnarray}$ ist schlicht Unsinn. Da gehört statt der Zeit eine Kurve an das Integral geheftet. Zur Berechnung des Integrals wird die Kurve parametrisiert. Der Kurvenparameter kann z. B. die Zeit sein. Dann ergibt sich: $\begin{eqnarray} A=\int_{\gamma} \vec F(t,\vec r) \cdot d\vec r =\int^T_0 \vec F(t,\vec r (t)) \cdot \frac {d \vec r}{dt} dt \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} \vec e_3 \end{eqnarray}$ sollte besser im Integral stehen, da ja das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ zu bilden ist.
03.06.2015, 15:40	e1128631	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Die unschöne Formulierung in der Angabe hat mich verwirrt. dass der Term $\begin{eqnarray} \vec e_3 \end{eqnarray}$ noch ins Integral gehört ist auch noch ein wichtiger Hinweis. Das hätte ich übersehen. lg
03.06.2015, 17:20	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann ihn durchaus auch vor das Integral schreiben, er ist ja konstant. Ich finde es nur übersichtlicher, wenn er innen steht. Wenn er außen steht, bildet man das Integral für alle 3 Komponenten von $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ und führt hinterher das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray} \vec e_3 \end{eqnarray}$ aus. Wenn er innen steht, bildet man zuerst $\begin{eqnarray} \vec e_3 \cdot \vec v \end{eqnarray}$ und hat nur ein Integral.

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