Monotonie Zahlenfolge (3)

03.06.2015, 16:16

Rivago

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Monotonie Zahlenfolge (3)

$\begin{eqnarray*} (j_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j_n = n^2 + (-1)^n \cdot n +1 \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} j_{n+1} = (n+1)^2 + (-1)^{n+1} \cdot (n + 1) + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} j_{n+1} - j_n = ((n+1)^2 + (-1)^{n+1} \cdot (n+1) + 1) - (n^2 + (-1)^n \cdot n +1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2n +1 + (-1)^{n+1} \cdot (n+1) - (-1)^n \cdot n \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das jetzt weiter auflösen? verwirrt

verwirrt

03.06.2015, 16:38

HAL 9000

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Offenkundig bringt der Term $\begin{align*} (-1)^n \end{align*}$ eine gewisse Alterniertheit im Verhalten der Zahlenfolge mit sich. Zum Nachweis von $\begin{align*} j_n\leq j_{n+1} \end{align*}$ ist es daher am besten, gleich die beiden Fälle $\begin{align*} n \end{align*}$ ungerade (d.h. $\begin{align*} n=2k-1 \end{align*}$ ) sowie $\begin{align*} n \end{align*}$ gerade (d.h. $\begin{align*} n=2k \end{align*}$ ) getrennt zu untersuchen.

03.06.2015, 16:47

Rivago

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Kann ich denn an da überhaupt noch was zusammenfassen? Und wenn ja, wie? Denn darum ging es mir eigentlich erstmal.

In der Lösung steht $\begin{eqnarray*} 2n + 1 - 2 \cdot (-1)^n \cdot n - (-1)^n \end{eqnarray*}$

Ich versteh aber nicht wie man darauf kommt..

03.06.2015, 17:00

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} (-1)^{n+1}= (-1)^n\cdot (-1) = -(-1)^n \end{align*}$ .

03.06.2015, 17:12

Rivago

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Naja, das hab ich vorhin auch schon probiert, aber komm trotzdem nicht auf die Musterlösung..

Ich hab $\begin{eqnarray*} 2n + 1 - (-1)^n \cdot (n+1) - (-1)^n \cdot n \end{eqnarray*}$

Und jetzt? verwirrt

verwirrt

03.06.2015, 17:15

HAL 9000

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Das Distributivgesetz (volkstümlich: ausklammern) sollte dir doch geläufig sein!

$\begin{align*} ab + ac = a(b+c) \end{align*}$

Könnte man hier ja mal mit $\begin{align*} a=-(-1)^n \end{align*}$ sowie $\begin{align*} b=n+1 \end{align*}$ und $\begin{align*} c=n \end{align*}$ anwenden.

-----------------

Diese Darstellung

Zitat:

Original von Rivago
In der Lösung steht $\begin{eqnarray*} 2n + 1 - 2 \cdot (-1)^n \cdot n - (-1)^n \end{eqnarray*}$

ist zwar richtig, aber in Hinblick auf das, was man will, auch nicht gerade der Weisheit letzter Schluss. Da wäre schon eher $\begin{align*} (2n+1)(1-(-1)^n) \end{align*}$ angemessen.

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03.06.2015, 17:51

Rivago

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Jo, eigentlich konnte ich das mal, aber es ist alles spurlos verschwunden böse

böse

traurig

Ich kann nichts mehr. Das ist echt unglaublich.. Dumm wie nen Stück Brot, wirklich..

Das muss doch dann $\begin{eqnarray*} -(-1)^n \cdot (n + (n+1)) \end{eqnarray*}$ sein. Was anderes fällt mir nicht ein.

Ich mach jetzt Schluss für heute, sonst rast ich noch aus böse

böse

05.06.2015, 22:14

Rivago

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Kann nicht ma noch jemand helfen? unglücklich

unglücklich

Ich hab es jetzt nochmal versucht, aber ich komm nicht weiter..

$\begin{eqnarray*} = 2n + 1 + (-1)^{n+1} \cdot (n+1) - (-1)^n \cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2n + 1 + (-1) \cdot (-1)^n \cdot (n+1) + (-1) \cdot (-1)^n \cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2n + 1 - (-1)^n \cdot (n+1) - (-1)^n \cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2n + 1 - (-1) \cdot ((n+1) + n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (2n + 1) - (-1) \cdot (2n +1 ) \end{eqnarray*}$

Aber das ist ja auch noch nicht das, was HAL vorschlägt.

05.06.2015, 22:29

Helferlein

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Du hast von der dritten zur vierten Zeile den Exponenten verloren.

05.06.2015, 22:31

wopi

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Hal hat dir eigentlich alles gesagt:

unterscheide die Fälle 'n gerade' und 'n ungerade'

Rechne sie getrennt ab deiner 3. Anfangszeile.

Dann sind alle Potenzen von -1 einfach gleich 1 oder gleich -1

05.06.2015, 22:39

Rivago

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$\begin{eqnarray*} = 2n + 1 - (-1)^n \cdot ((n+1) + n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (2n + 1) - (-1)^n \cdot (2n +1) \end{eqnarray*}$

Ups ja, den hab ich vergessen.

Also stimmt das so? Alles richtig ausgeklammert?

Woher weiß ich jetzt, ob ich $\begin{eqnarray*} j_n \le j_{n+1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} j_n \ge j_{n+1} \end{eqnarray*}$ zeigen/rechnen muss?

Und da setz ich für n jetzt einfach eine gerade Zahl und eine ungerade ein?

05.06.2015, 22:47

Helferlein

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Ein Schritt fehlt Dir noch zu HALs Vorschlag und danach setzt Du einmal negative und einmal positive Werte ein.

05.06.2015, 22:57

Rivago

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Ach, jetzt seh ichs auch. Einfach nochmal die (2n+1) ausklammern smile

smile

Für gerade Zahlen kommt immer 0 raus.

Für ungerade Zahlen steigt sie.

Also ist die Folge monoton steigend. Oder streng monoton steigend?

05.06.2015, 23:05

Helferlein

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Zitat:

Original von Rivago
Für gerade Zahlen kommt immer 0 raus.

Was bedeutet das für z.B. die Folgeglieder $\begin{eqnarray*} a_8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_9 \end{eqnarray*}$ ?
Wie ist strenge Monotonie definiert?

05.06.2015, 23:17

Rivago

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Ich bin gerade durcheinander unglücklich

unglücklich

Du fragst nach a8 und a9

Wo genau muss ich das jetzt einsetzen? In j_n, j_n+1 oder in die Formel, die ich aus dem Differenzenkriterium erhalten hab?

Strenge Monotonie liegt vor, wenn man statt $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ bzw. statt $\begin{eqnarray*} \ge \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ setzen kann.

05.06.2015, 23:38

Helferlein

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Richtig und wie sieht nun $\begin{eqnarray*} j_9-j_8 \end{eqnarray*}$ aus? (Sorry hatte mich eben in der Bezeichnung der Folge vertan)

05.06.2015, 23:50

Rivago

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Da erhalte ich auch 0.

06.06.2015, 00:09

Helferlein

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Und was bedeutet das für die beiden Folgeglieder?

06.06.2015, 11:21

Rivago

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Hmm.. Bei gerade und ungerade ist die Differenz der Folgeglieder 0. So hätte ich es jetzt gesagt.

In der Lösung steht aber "Ist n gerade, dann ist die Differenz der Folgeglieder 0. Im anderen Fall ist sie $\begin{eqnarray*} 4n + 2 > 0 \end{eqnarray*}$ . Damit wächst die Folge monoton."

Versteh ich nicht.. Man hat doch immer auf ein gerades Folgeglied ein ungerades. Wie kann dann der Satz "ist n gerade, dann .." zu Stande kommen?
Wie kommt man auf den Teil mit "4n + 2 > 0" ?
Warum wächst die Folge nur monoton? Wenn man statt $\begin{eqnarray*} \ge \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ setzen kann, liegt doch strenge Monotonie vor?!

06.06.2015, 13:05

Helferlein

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Ich hatte Dich nicht gefragt, was das für die Different der beiden bedeutet, sondern für jedes einzelne der beiden Folgeglieder.

Anders formuliert: Wenn a-b=0 ist, wie lässt sich dann a durch b ausdrücken? In deinem Fall ist a ein Folgeglied mit ungeradem Index und b eins mit geradem.

06.06.2015, 20:14

Rivago

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Naja, es bedeutet doch letztendlich, dass das nachfolgende Folgeglied immer größer ist, d.h. die Folge wächst.

So richtig bin ich aber noch nicht auf der richtigen Spur, oder? verwirrt

verwirrt

06.06.2015, 20:22

Helferlein

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Wenn die Differenz Null ist, wie soll das nachfolgende dann bitte schön größer sein? verwirrt

verwirrt

06.06.2015, 23:14

Rivago

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Das ist nen Argument. Natürlich sind dann beide gleich groß, beide haben den Wert 73.

Ich weiß leider noch nicht auf welchen Weg du mich führen willst. Ich hab ja für n einen ungeraden Wert eingesetzt, da steigt die Folge. Setz ich einen geraden ein, dann kommt immer 0 raus.
Weiß noch nicht was mir da jetzt bspw. a8 und a9 sagen sollen verwirrt

verwirrt

07.06.2015, 00:49

Helferlein

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Ehe wir noch lange herumeiern bringe ich das mal zu Ende:
Die beiden sind gleich groß und deshalb kann die Folge nicht streng monoton sein, denn dazu müsste jedes Folgeglied echt größer als sein Vorgänger sein.

07.06.2015, 09:27

Rivago

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Aaah

Idee!

Kann man das so bei jeder Zahlenfolge begründen, egal wie sie aussieht?

Was ist jetzt noch mit dem Satz "Im anderen Fall ist sie 4n + 2 > 0" gemeint?

07.06.2015, 09:39

Helferlein

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HAL hatte Dir oben schon geschrieben, dass $\begin{align*} l_{n+1}-l_n = (2n+1)(1-(-1)^n) \end{align*}$ gilt.

Für ungerade n ist $\begin{align*} (-1)^n=-1 \end{align*}$ und somit $\begin{align*} l_{n+1}-l_n = (2n+1)(1-(-1))=2(2n+1)>0 \end{align*}$
Für gerade n ist $\begin{align*} l_{n+1}-l_n = (2n+1)(1-(-1)^n)=(2n+1)\cdot 0=0 \end{align*}$ , aber das hatten wir ja eben schon.

Für einen geraden Index ist das nächste Folgeglied also gleichgroß, für einen ungeraden wird es größer.

07.06.2015, 16:03

Rivago

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Achsooo

smile

Jetzt versteh ich wie das gemeint ist.

Danke für die Hilfe Wink

Wink

Freude

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