Vervollständigung Maßraum Eindeutigkeit des Maßes

03.06.2015, 16:19

steviehawk

Vervollständigung Maßraum Eindeutigkeit des Maßes

Meine Frage:
Hallo Leute, ich verzweifle gerade total unglücklich

an folgendem Problem.

Jeder Maßraum kann ja bekanntlich vervollständigt werden. Beim Nachweiß dieser Aussage hänge ich gerade. Ich habe schon gezeigt, dass die Menge:

$\begin{eqnarray*} G : = \{ A \subset \Omega | \exists B \in \mathcal F : A \triangle B \text{Ist eine} \mu - \text{Nullmenge} \} \end{eqnarray*}$

heribei ist $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \sigma - \end{eqnarray*}$ Algebra das ursprünglichen Maßraumes und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ dessen Maß. $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ die Trägermenge.

nun ist das vollständige Maß ja auf der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ definiert. Also $\begin{eqnarray*} \lambda : G \to [0,\infty] \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ setzt man einfach wieder $\begin{eqnarray*} \lambda (A) = \mu(A) \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} A \in G \setminus \mathcal F \end{eqnarray*}$ setze ich $\begin{eqnarray*} \lambda (A) = \mu (B) \end{eqnarray*}$ mit passenden B aus der symmetrischen Differenz.

Nun muss ich für die Eindeutigkeit ja folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} A \triangle B \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ - Nullmenge und $\begin{eqnarray*} A \triangle C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ - Nullmenge, so gilt $\begin{eqnarray*} \mu(B) = \mu(C) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Dabei hänge ich gerade. Ich habe: Wg. Symmetrie reicht es zu zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \mu(B) \leq \mu(C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B \setminus C \subset B \end{eqnarray*}$ gilt. Nun habe ich im Internet folgende Gleichung gesehen, in welcher ich das zweite Gleichheitszeichen nicht verstehe:

$\begin{eqnarray*} \mu(B) = \mu(B \setminus C) + \mu(B \cap C) \stackrel{?}{=} \mu(B \cap C) \leq \mu(C \cap B) + \mu(C \setminus B) = \mu(C) \end{eqnarray*}$

Warum gilt das? Der Rest würde dann Sinn ergeben. Irgendwo muss ich ja auch mal die Voraussetzung verwenden, dass die symmetrischen Differenzen Nullmenge sind oder?

Ich danke schon mal im Voraus für die Hilfe smile

EDIT: Ich zeige im Grunde ja: $\begin{eqnarray*} B \setminus C \subset A \triangle B \cup A \triangle B \end{eqnarray*}$ gilt. Da die symmetrischen Differenzen Nullmengen sind, wäre dann auch $\begin{eqnarray*} B \setminus C \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge und es würde passen..

Dass das was im Edit steht stimmt ist leicht einzusehen, damit kann ich die Gleichung verstehen und es passt alles.. Hammer

03.06.2015, 16:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Ich zeige im Grunde ja: $\begin{eqnarray*} B \setminus C \subset A \triangle B \cup A \triangle B \end{eqnarray*}$

Tippfehler sowie ein paar vergessene Klammern: Du zeigst $\begin{eqnarray*} B \setminus C \subset (A \triangle B) \cup (A \triangle C) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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