Grenzwertbetrachtung bei einer komplexen Funktion

03.06.2015, 16:37	mouZboTz	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbetrachtung bei einer komplexen Funktion Guten Tag Ich hätte mal eine Frage zur Grenzwertbetrachtung einer komplex-wertigen Funktion und würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könnt. Und zwar sei folgende Funktion gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> f\colon G\times G \to \mathbb{C}\text{ mit } f(z,s):=\frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}, \text{wobei } G:=\mathbb{C}\backslash\{z\in\mathbb{R}\mid z\ge 0 \}\text{ und } s=\sigma + it \text{, } z=x+i\delta<br /> \end{eqnarray}$ Ich soll nun zeigen, dass für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{\delta\to 0}f(x\pm i\delta)=e^{\mp (s-1)\pi i}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}<br /> \end{eqnarray}$ Als Tipp ist gegeben, dass gilt: $\begin{eqnarray} <br /> arg(-(x\pm i\delta))\to \mp \pi<br /> \end{eqnarray}$ Mein Problem ist nun, dass mir bei allen möglichen Überlegungen der Faktor $\begin{eqnarray} e^{\mp (s-1)\pi i} \end{eqnarray}$ fehlt. Ich weiß einfach nicht, woher der kommt. Meine Idee war bisher folgende: Zunächst kann man $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ etwas umschreiben $\begin{eqnarray} <br /> f(z,s)=\frac{(-z)^{s-1}}{e^z-1}=\frac{e^{(s-1)\ln(-z)}}{e^z-1}=\frac{e^{s\ln(-z)}}{(e^z-1)(-z)}<br /> \end{eqnarray}$ Und somit ist z.B. im Falle $\begin{eqnarray} z=x+ i\delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{\delta\to 0}f(x+ i\delta,s)=\lim_{\delta\to 0}\frac{e^{s\ln(-x- i\delta)}}{(e^x\cdot e^{i\delta}-1)(-x- i\delta)}=\frac{e^{s\ln(-x)}}{(e^x\cdot 1-1)(-x)}=\frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}<br /> \end{eqnarray}$ Was ist da falsch? Wieso erhalte ich ein $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ ? Der oben genannte Vorfaktor fehlt ja komplett. Ich befürchte, dass es etwas mit dem Tipp zu tun haben muss. Liebe Grüße, mouZboTz
06.06.2015, 19:38	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbetrachtung bei einer komplexen Funktion Hi! Bevor dir hier gar keiner mehr antwortet: Um den Vorfaktor aus deiner Rechnung zu erhalten, verwende einfach $\begin{eqnarray} (-x)^{s-1} = (-1)^{s-1} x^{s-1} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} e^{\pi i} = -1 \end{eqnarray}$ Allerdings solltest du bei deiner Rechnung in dieser Form noch dazuschreiben, wie du den Logarithmus auffastt, da ja der $\begin{eqnarray} ln \end{eqnarray}$ gar nicht auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ definiert ist. Habt ihr das schon besprochen?
07.06.2015, 23:54	mouZboTz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbetrachtung bei einer komplexen Funktion Dankeschön Ich verstehe damit nun aber nicht, wieso das Vorzeichen im Exponenten dieses Vorfaktors davon abhängt, ob $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ nun einen positiven oder negativen Imaginärteil hat. Für $\begin{eqnarray} z=x-i\delta \end{eqnarray}$ bekomme ich das gleiche raus wie zuvor: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{\delta\to 0} f(x-i\delta,s)=\lim_{\delta\to 0} \frac{e^{s\ln(-x+i\delta)}}{(e^x\cdot e^{-i\delta}-1)(-x+i\delta)}=\frac{e^{s\ln(-x)}}{(e^x-1)(-x)}=\frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}<br /> \end{eqnarray}$ Und somit: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{\delta\to 0} f(x-i\delta,s)=\frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}=\frac{(-1)^{s-1}x^{s-1}}{e^x-1}=e^{(s-1)\pi i}\cdot\frac{x^{s-1}}{e^x-1}<br /> \end{eqnarray}$ Laut Aufgabenstellung sollte es ja aber vom Vorzeichen her anders sein als im Falle $\begin{eqnarray} z=x+i\delta \end{eqnarray}$ . Ich würde hier einfach den Hauptzweig des Logarithmus betrachten. Oder wie war das gemeint? Im Grunde verwende ich ihn ja nur, um komplexes Potenzieren überhaupt zu definieren.

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