Verallgemeinerte Eigenräume/Hauptraum

03.06.2015, 19:07	Ittum	Auf diesen Beitrag antworten »
Verallgemeinerte Eigenräume/Hauptraum Meine Frage: Guten Abend, und zwar möchte ich gerne die Idee hinter den verallgemeinerten Eigenräumen genauer verstehen. Dies ist nun keine konkrete Fragestellung, allerdings erfährt man zumindest in den 3 Büchern welche ich über lineare Algebra besitze recht wenig darüber, sodass ich quasi einfach mal zu dieser Diskussion einladen möchte. mfg, Ittum Meine Ideen: Mein Wissen: Zunächst einmal die Definition: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Vektorraum über einem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} dim(V)=n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f:V \rightarrow V \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert. Dann existiert ein $\begin{eqnarray} k\leq n \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} Ker(f-\lambda id_v)^m = Ker(f-\lambda id_v)^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall m\geq k \end{eqnarray}$ . Den Raum $\begin{eqnarray} Hau_f(\lambda)=Ker(f-\lambda id_v)^k \end{eqnarray}$ bezeichnet man als den Hauptraum bzw. den verallgemeinerten Eigenraum von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Der Hauptraum ist f-invariant, sprich $\begin{eqnarray} \forall x \in Hau_f(\lambda) \end{eqnarray}$ liegt das Bild $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ wieder in $\begin{eqnarray} Hau_f(\lambda) \end{eqnarray}$ . Das Konzept des Hauptraumes wird ja meines Wissens nach im Zusammenhang der Jordan-Normalform eingeführt. Dort geben die Dimensionen der Haupträume die algebraischen Vielfachheiten an, sodass man die Anzahl der Blöcke der Größe $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} 1\leq s\leq k \end{eqnarray}$ , bestimmen kann. Mein Hauptanliegen besteht nun darin, etwas mehr über die Theorie dahinter zu erfahren, da diese noch etwas schwammig ist. Grob ist es ja so das falls die geom. Vielfachheit kleiner als ide alg. Vielfachheit ist, muss man die Haupträume betrachten, um so eine Basis zu finden, die groß genug ist? Schon einmal vielen Dank
04.06.2015, 12:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Charakterisierung der Haupträume als verallgemeinerte Eigenräume ist sinnvoll und richtig. Das Konzept besteht in der Tat darin, durch Berechnung der Eigenwerte und der zugehörigen maximalen f-invarianten Untervektorräume von V eine möglichst einfache Darstellungsmatrix von f zu berechnen, und das ist die Jordan-Normalform. Ein Eigenraum ist ein (f-invarianter) Hauptraum, in dem jeder Vektor Eigenvektor ist. Wenn V in Eigenräume zerlegbar ist, ist f diagonalisierbar. Wenn nicht, dann ist die Jordan-Normalform die einfachste Darstellung, die man erreichen und berechnen kann. Hans-Joachim Kowalsky "Lineare Algebra" (DeGruyter Lehrbuch) behandelt das "allgemeine Normalformenproblem" in Kapitel 9, § 34 Polynome, § 35 Allgemeine Normalform, § 36 Praktische Berechnung, Jordansche Normalform. Vorbereitend dafür ist das Kapitel 5 "Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen" mit den Paragraphen § 16 Äquivalenz von Matrizen, § 17 Ähnlichkeit, Eigenvektoren, Eigenwerte.
04.06.2015, 14:26	Ittum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, erstmal vielen Dank für deine Antwort. Wird in diesem Buch dann darauf eingegangen warum man diese einführt? Ich besitze zum Beispiel den Fischer, bosch, welche ja grundsätzlich auch in ausführlicher Weise alle Themen behandeln, jedoch recht wenig darauf eingehen warum genau man die verallgemeinerten Eigenräume einführt. Genau diese Idee ist es, welche ich nachlesen möchte Ich erinnere mich grob das es etwas damit zu tun hatte das die Anzahl der Eigenvektoren, welche es zwar schaffen den Eigenraum aufzuspannen, nicht mehr ausreichen etwas (und leider weiss ich hier dann nicht mehr genau was) aufzuspannen, sodass man diese über die Vereinigung der Kerne also der Eigenräume erweitert um wieder eine Basis zu erhalten. mfg Ittum
04.06.2015, 18:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
H.-J. Kowalsky geht von der Äquivalenz bzw. Ähnlichkeit von Matrizen aus, das sind Äquivalenzrelationen auf $\begin{eqnarray} Hom(V,W) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} End(V) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A \sim B\Leftrightarrow \exists S,T \end{eqnarray}$ regulär mit $\begin{eqnarray} B=SAT \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A\approx B\Leftrightarrow \exists S \end{eqnarray}$ regulär mit $\begin{eqnarray} B=SAS^{-1} \end{eqnarray}$ . Sucht man eine möglichst einfache Matrix in jeder Äquivalenzklasse, so führt das wegen $\begin{eqnarray} A\sim B\Leftrightarrow rg(A)=r(B) \end{eqnarray}$ auf die Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D_k=diag(1,...,1,0...0) \end{eqnarray}$ . Sucht man eine möglichst einfache Matrix in jeder Ähnlichkeitsklasse, so ergibt sich für diagonalisierbare Matrizen eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D=(\lambda_1,...,\lambda_n) \end{eqnarray}$ mit den Eigenwerten $\begin{eqnarray} \lambda_i (i=1,...,n) \end{eqnarray}$ , für nicht diagonalisierbare Matrizen ergibt sich die Jordan-Normalform $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ . Den Rang einer Matrix zu berechnen ist einfach. Die Definition äquivalenter Homomorphismen und ähnlicher Endomorphismen hängt offensichtlich mit Basiswechselmatrizen zusammen. Die Normalformen ähnlicher Endomorphismen findet man dadurch, dass man zunächst die Eigenwerte berechnet und dann eine Basis von V aus Eigenvektoren bzw. Hauptvektoren erstellt. Alle Verfahren sind konstruktiv, d.h. man kann $\begin{eqnarray} S,T,D_k \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} S,D \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} S,J \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A\in Hom(V,W) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A\in End(V) \end{eqnarray}$ für endliche Vektorräume $\begin{eqnarray} V,W \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ effektiv berechnen.
06.06.2015, 11:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ittum, bisher habe ich über möglichst einfache Darstellungsmatrizen und ihre Normalformen, den Zusammenhang mit Eigenwerten, Eigenräumen, Haupträumen und den Zusammenhang mit Basen von V und W gesprochen. In meinem 1. Beitrag habe ich einen Fehler gemacht, denn es geht nicht um maximale f-invariante Untervektorräume, der Vektorraum V selbst ist unter jedem Endomorphismus f-invariant, das kann es also nicht sein. Hier versuche ich deshalb noch eine "geometrisch-abbildungstechnische" Begründung um zu erläutern, in welchem Sinne die Normalformen "möglichst einfach" sind. Jeder Homomorphismus $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ bildet eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ auf eine Basis von $\begin{eqnarray} f(V)<W \end{eqnarray}$ ab. Die Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D_k=diag(1,...,1,0...,0) \end{eqnarray}$ vom Rang $\begin{eqnarray} k=dim(f(V)) \end{eqnarray}$ bildet also $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Basisvektoren $\begin{eqnarray} a_1,...,a_k \in span(a_1,...,a_k)< V \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Basisvektoren $\begin{eqnarray} b_k=f(a_k) \in f(V)<W \end{eqnarray}$ ab. Ist eine Endomorphismus $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ diagonalisierbar, dann wird durch $\begin{eqnarray} D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n) \end{eqnarray}$ eine Basis $\begin{eqnarray} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray}$ aus Eigenvektoren auf eine Basis des Bildraums $\begin{eqnarray} \{\lambda_1 v_1,...,\lambda_n v_n\} \end{eqnarray}$ abgebildet, also wird jeder Basisvektor $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ nur einer Streckung um den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ unterworfen. (Ich bin mir nicht ganz sicher, ob n=dim(V) oder n<=dim(V) ist, aber das ist mir im Moment auch egal.) Wenn keine Basis aus Eigenvektoren besteht, dann macht der Endomorphismus etwas komplizierteres als nur Streckungen von Basisvektoren. Die Jordan-Normalform transformiert dann immerhin nur die Basisvektoren innerhalb der Haupträume, und auch dort ist die Teilmatrix nur in der Hauptdiagonalen und daneben besetzt (für reelle und komplexe Matrizen). Eine Verallgemeinerung der Jordan-Normalform ( http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform ) für beliebige Grundkörper ist die Frobenius-Normalform ( http://de.wikipedia.org/wiki/Frobenius-Normalform ).
07.06.2015, 09:16	Ittum	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen Elvis, dies war eine sehr schöne Erklärung, vielen Dank! Dies ermöglicht mir auf jeden Fall ein besseres Verständnis des Zusammenhanges, und auch der Jordan-Normalform. Das einzige was mir noch nicht ganz klar ist, ist wie es mit der Zerlegung in Eigenräume aussieht. Ergibt dann die direkte Summe über die Eigenräume wieder den zugrundeliegeneden Vektorraum? Ab einer gewissen Potenz werden die Eigenräume ja quasi "stationär", sodass die Vereinigung alle Potenzen gleich der Vereinigung bis zu dieser Potenz ist. Könntest du vielleicht auf diesen Zusammenhang etwas genauer eingehen? mfg Ittum
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07.06.2015, 11:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, Ittum. Nicht nur Dir ist nicht alles klar, das geht vielen so, und ich nehme mich da nicht aus. Wenn weiter Interesse an diesem Thema besteht, hilft nur intensives Studium, sonst kommst Du nicht weiter. Kowalsky finde ich immer noch hilfreich, weil er den Fall allgemeiner Grundkörper zuerst behandelt und dann die Jordan-Normalform für die Spezialfälle $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ behandelt. Beim Nachlesen ist mir auch wieder eingefallen, dass der enge Zusammenhang zwischen einem Endomorphismus und seinem charakteristischen Polynom eine wesentliche Rolle spielt ( das ist aus der Theorie der Eigenwerte schon klar und wird in der Theorie der Haupträume auch deutlich ). AN ALLE: wer möchte, darf gern noch etwas zum Thema beitragen. Ich könnte das nur tun, indem ich anfange, den Kowalsky abzuschreiben, denn was ich im Kopf hatte, habe ich schon gepostet.
08.06.2015, 12:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag zur Frage nach den Dimensionen. Wegen $\begin{eqnarray} dim(V)=dim(ker(f))+dim(Bild(f))=defekt(f)+rang(f) \end{eqnarray}$ , und weil $\begin{eqnarray} ker(f) \end{eqnarray}$ genau der Eigenraum zum Eigenwert 0 ist, zerfällt $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ in die Summe der Eigenräume und Haupträume. Die Basis, bezüglich der die Darstellungsmatrix Normalform hat, stellt also in jedem Fall eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ dar. Kommentar zum Nachtrag: Das ist das beste Ergebnis, das man erwarten und erreichen kann. Der Endomorphismus $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ ist demnach auf einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ bekannt, auf der die Darstellungsmatrix eine möglichst einfache Form annimmt. Darüber hinaus kennt man die Eigenräume und Haupträume, und auf den Basen dieser $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ -invarianten Teilräume von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ operiert $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in einfacher und durchsichtiger Weise. Da ein Homomorphismus vollständig bekannt ist, wenn man sein Verhalten auf einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ kennt, hat man damit eine möglichst einfache Darstellung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gefunden.

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