DGL 1. Ordnung, RL-Glied

03.06.2015, 19:19

Chloe2015

DGL 1. Ordnung, RL-Glied

Problem:

An einer Spule L wird zur Zeit t = 0s, über einen Ohmschen Widerstand R eine Gleichspannung der Stärke U0 angelegt.

1.) Modelliere die Funktion i, die jedem Zeitpunkt t die Stromstärke I(t) an der Spule zur Zeit t zuordnet, durch eine Differentialgleichung.

2.) Löse die DGL. für i(0) = 0A; U0 = 200V; R=100Ohm; L=0,5H

3.) Ermittel die Funktion $\begin{eqnarray*} U_L \end{eqnarray*}$ , die jeder Zeit t die Spannung $\begin{eqnarray*} U_L(t) \end{eqnarray*}$ an der Spule zu dieser Zeit zuordnet, und zeichnen sie den Graphen der Funktion I und $\begin{eqnarray*} U_L \end{eqnarray*}$ .

Idee:
1.)
$\begin{eqnarray*} U_L = L \cdot di/dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_R+U_L = U_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R \cdot I + L \frac{di} {dt}= U_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R \cdot I = U_0 - L \frac{di} {dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R \cdot I -U_0 = - L \frac{di} {dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (R \cdot I -U_0 ) dt = - L di \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dt = \frac{- L}{(R \cdot I -U_0 )} di \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{-L} = \frac{1}{(R \cdot I -U_0 )} di \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dt}{-L} = \int \frac{1}{(R \cdot I -U_0 )} di \end{eqnarray*}$

Is das so richtig ? oder mach ich schon irgendwas falsch.

03.06.2015, 19:52

HAL 9000

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Sieht OK aus. Allerdings solltest du konsequent beim selben Buchstaben für den Strom bleiben, also entweder $\begin{align*} I \end{align*}$ sowie Differential $\begin{align*} \dd I \end{align*}$ , oder $\begin{align*} i \end{align*}$ und $\begin{align*} \dd i \end{align*}$ , aber nicht so eine inkonsequente "Mischform" wie bei dir. unglücklich

04.06.2015, 12:52

Chloe2015

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$\begin{eqnarray*} \int \frac{dt}{-L} = \int \frac{1}{(R \cdot i -U_0 )} di \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{t}{L} + K = \frac{1}{R} \cdot ln(Ri-U_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{R \cdot t}{L} + K = ln(Ri-U_0) \end{eqnarray*}$

Dann entlogarithmieren:

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{R \cdot t}{L}}\cdot K = Ri-U_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R} (e^{-\frac{R \cdot t}{L}}\cdot K + U_0) = i_{(t)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tau = \frac{L}{R} \end{eqnarray*}$

Allgemeine Lösung für die Stromstärke:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R} (e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t}\cdot K + U_0) = i_{(t)} \end{eqnarray*}$

kann das stimmen=?

$\begin{eqnarray*} i_{(t)} = e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot K + \frac{U_0}{R} \end{eqnarray*}$

04.06.2015, 12:59

HAL 9000

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Ja stimmt ... fast: Ein kleiner Schreibfehler hat sich noch eingeschlichen, es muss

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R} (e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot K + U_0) = i(t) \end{eqnarray*}$

lauten. Bei einem konkreten Anfangswert (etwas $\begin{align*} i(0)=0 \end{align*}$ ) kann man $\begin{align*} K \end{align*}$ natürlich noch daraus berechnen.

04.06.2015, 13:07

Ehos

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$\begin{eqnarray*} I(t)=\tfrac{U_0}{R}\cdot \left (1-e^{-\tfrac{R}{L}\cdot t} \right ) \end{eqnarray*}$

Demnach verschwindet der Strom zu Beginn (bei t=0). Für große Zeiten $\begin{eqnarray*} t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ verschwindet der exponentielle Term, so dass dann der Gleichstrom I=Uo/R fließt. Dann verhält sich alles wie beim Gleichstromkreis mit reinem Ohmschen Widerstand. Kurz nach dem Einschalten steigt der Strom nur allmählich an, weil, die Spule der Stromänderung bekanntlich einen Widerstand entgegensetzt (ähnlich wie sich eine Masse der Beschleunigung entgegensetzt)

04.06.2015, 13:29

Chloe2015

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1.)
$\begin{eqnarray*} i_{(t)} = e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot K + \frac{U_0}{R} \end{eqnarray*}$

2.)

$\begin{eqnarray*} i_{(t=0)} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = e^{0}\cdot K + \frac{U_0}{R} = K + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i_{(t)} = \frac{U_0}{R} - 2 e^{-\frac{t}{\tau}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i_{(t)} = 2 - 2 e^{-200t} \end{eqnarray*}$
3.)
Bei 3.) weiß ich jetz nicht was gemeint ist ?
Und irgendwie kann ich den Graph von I(t) nicht zeichnen ?
oder schaut der so aus ?

y = I (Strom)
x = t (Zeit)

04.06.2015, 13:37

Ehos

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Bei Aufgabe 2) musst du die Funktion $\begin{eqnarray*} I(t)=2 \cdot\left (1-e^{-200\cdot t} \right ) \end{eqnarray*}$ zeichnen.

Bei Aufgabe 3) ist diejenige Spannung gefragt, die an der Spule anliegt (die man also mit einem Voltmeter messen würde, das man parallel zur Spule klemmt). Diese Spannung ist gerade

$\begin{eqnarray*} U_L=L\cdot \tfrac{dI}{dt} \end{eqnarray*}$

Du musst also die Lösung I(t) nach der Zeit differenzieren und mit der Induktivität L multiplizieren.

04.06.2015, 13:41

HAL 9000

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Oder $\begin{align*} U_L(t) = U_0 - R\cdot i(t) \end{align*}$ nutzen, ist rum wie num. Augenzwinkern

04.06.2015, 13:58

Chloe2015

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3.)

$\begin{eqnarray*} U_R+U_L = U_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_L = U_0 - U_R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_L(t) = U_0 - R \cdot i(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_L(t) = 200V - 100Ohm \cdot (2 \cdot\left (1-e^{-200\cdot t} \right )) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_L(t) = 200V - 200Ohm \cdot\left (1-e^{-200\cdot t} \right ) \end{eqnarray*}$

Beim zeichnen hab ich nun probleme. Mag daran liegen das ich meinen Taschenrechner noch nicht ganz verstehe. Und der Funktionsgraphen Zeichner aus dem Internet zeigt auch dauernd Illegaler Wertebereich.

Aber irgendwie fangt der Strom im negativen Bereich an ? und steigt dann auf 2A und bleibt dann Konstant.

und UL geht auf 0V.

Blau = UL(t)
Rot = I(t)

04.06.2015, 14:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Chloe2015
$\begin{eqnarray*} U_L(t) = 200V - 100Ohm \cdot (2 \cdot\left (1-e^{-200\cdot t} \right )) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_L(t) = 200V - 200Ohm \cdot\left (1-e^{-200\cdot t} \right ) \end{eqnarray*}$

Dafür hätte mich mein Physiklehrer an der Schule gesteinigt. Augenzwinkern

Entweder man lässt die physikalischen Einheiten konsequent weg, indem man sich etwa einigt, dass alles in V, A etc. ist. Aber wenn man sie angibt, dann bitte richtig:

$\begin{eqnarray*} U_L(t) = 200V - 100\Omega \cdot (2A \cdot\left (1-e^{-200s^{-1}\cdot t} \right )) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_L(t) = 200V - 200V \cdot\left (1-e^{-200s^{-1}\cdot t} \right ) = 200V \cdot e^{-200s^{-1}\cdot t} \end{eqnarray*}$

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