Differentialgleichung durch Substitution lösen

03.06.2015, 20:50

Wee

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Differentialgleichung durch Substitution lösen

Hallo zusammen folgende DGL:
$\begin{eqnarray*} y'+2\frac{y}{x} =1 \end{eqnarray*}$ muss ich durch Substitution lösen nun wenn ich mir die Gleichung so anschaue gehe ich folgenden Weg: Substitution mit $\begin{eqnarray*} u=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$
nach y aufgelöst und abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} y'=u'*x+u \end{eqnarray*}$
dies setze ich nun in die ursprüngliche gleichung ein:
$\begin{eqnarray*} u'*x+u+2u=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} +3u=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! 3u \, du =\int_{}^{} \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} 3u^2 = ln|x| +C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{(ln|x| +C )*\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} = \sqrt{(ln|x| +C )*\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = ( \sqrt{(ln|x| +C )*\frac{2}{3}} )*x \end{eqnarray*}$

mein Ergebniss ist falsch wüsste jetz aber nicht was ich anders machen soll habe mir schon überlegt das vielleicht mein Substitutions ansatz falsch sein könnte wüsste aber nicht was ich sonst Substituieren soll? verwirrt

verwirrt

03.06.2015, 21:18

grosserloewe

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen
Wink

Wink

die Substitution stimmt.

ich hab erhalten:

$\begin{eqnarray*} u'*x +3u=1 \end{eqnarray*}$

03.06.2015, 21:53

Wee

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen
gut du bekommst das selbe raus warum ist dann der rest falsch bzw wo habe ich falsch umgeformt? die Lösung lautet
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{3}x-\frac{C}{x^2} \end{eqnarray*}$

03.06.2015, 21:58

grosserloewe

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen
Wink

Wink

an dieser Stelle ist Dein Fehler:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} +3u= \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

wie es richtig ist, schrieb ich.

Du erhälst dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{1-3u} =\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

03.06.2015, 22:03

Wee

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen
hm warum das denn? geschockt

geschockt

habe bis jetz in den Aufgaben dieses u' was doch die ableitung bedeutet immer durch du/dx ersetzt auch für y' mit dy/dx warum darf ich das nun nicht? klär mich mal bitte auf was ich jetzt mit dem u' machen soll.

03.06.2015, 22:06

grosserloewe

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen
Wink

Wink

u'= du/dx

das ist ja auch richtig.

statt 1/x habe ich nur 1 , das ist alles.

rechne meinen Weg weiter, dann kommst du an die Lösung:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{C}{x^2} +\frac{x}{3} \end{eqnarray*}$

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03.06.2015, 22:10

Wee

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RE: Differentialgleichung durch Substitution lösen
ah ok heißt das dann immer für die allgemeine Vorgehensweise, dass ich die Ableitung und den ursprünglichen term separieren muss? und erst dann wenn u oder y etc. auf der anderen seite steht ich die ableitung mit du/dx etc. ersetzen darf?

03.06.2015, 22:13

HAL 9000

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Da eine gewisse "Verständnislosigkeit" herrscht, hilft vielleicht eine ganz konkrete Benennung des Umformungsfehlers oben:

Zitat:

Original von Wee
$\begin{eqnarray*} u'*x+u+2u=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} +3u=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Wenn man die obere Gleichung durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dividiert, dann erhält man

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{\dd x} + \frac{3u}{x} = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ,

während du im Mittelteil - aus unerfindlichen Gründen - keine Division durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durchführst. unglücklich

unglücklich

Warum dann in der nächsten Zeile aus $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} +3u \end{eqnarray*}$ gar $\begin{eqnarray*} 3u\frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ wird, ist noch rätselhaftere Arithmetik.

03.06.2015, 22:19

grosserloewe

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Wink

@ HAL900 das tat ich.

Er versteht es nur nicht.

Ich schenke Dir diese Aufgabe.

Deiner.

Ich würde meine Aufgaben allein rechnen.

03.06.2015, 22:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von grosserloewe
Ich schenke Dir diese Aufgabe.

Zum Glück kann man Geschenke auch ablehnen. Und eigentlich betrachte ich Threads sowieso nicht als Besitztümer.

03.06.2015, 22:23

Wee

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Ne ich verstehs gerade auch noch nicht richtig muss es nochmal neu durchdenken danke euch

04.06.2015, 00:29

Wee

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Habe es nun nachgerechnet mein Fehler ist mir jetz auch klar und eure beiden vorgehen nachvollziebar habe nun das Integral durch eine 2 Substitution gelöst, das andere war einfach somit
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} *ln |1-3u|=ln |x| + C \end{eqnarray*}$

Bin fast am Endergebniss ich bekomme $\begin{eqnarray*} y= x^2*C+\frac{1}{3} x \end{eqnarray*}$

habe nach dem Integrieren die komplette Gleichung mit e hochgenommen also:
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{3} *ln |1-3u|} =e^{ln |x| + C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} *(1-3u) =e^{ln |x|} *e^{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{C} \end{eqnarray*}$ ist mein neues C

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} *(1-3u) =x *C \end{eqnarray*}$

jetz hab ich ausmultipliziert und dann nach u umgeform

$\begin{eqnarray*} u= \frac{1}{3} +x*C \end{eqnarray*}$

rücksubstituiert und dann nach y aufgelöst somit bekomme ich
$\begin{eqnarray*} y= \frac{1}{3}x +x^2*C \end{eqnarray*}$

wo ist denn noch was falsch?

04.06.2015, 08:07

Mi_cha

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davon ausgegend, dass sich die beiden anderen hier verabschieded haben, springe ich mal ein.

Der Fehler liegt bei der e-Funktion: $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{3}ln(1-3u) } \neq -\frac{1}{3}(1-3u) \end{eqnarray*}$

Multipliziere zunächst die $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite. Denke dabei an das Logarithmusgesetz $\begin{eqnarray*} a \cdot ln b = ln(b^a) \end{eqnarray*}$ .

Damit solltest du zum richtigen Ergebnis kommen.

04.06.2015, 21:54

Wee

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Ah ok also habe jetz:

$\begin{eqnarray*} ln|(1-3u)*x^3| =-3C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|x^3-3x^3*u| =-3C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3-3x^3*u =e^{-3C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\frac{e^{-3C} }{-3x^3}+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Rückstubstitution liefert mir

$\begin{eqnarray*} y=\frac{e^{-3C} }{-3x^2} +\frac{1}{3} x \end{eqnarray*}$

die 3 muss noch weg aber wie??

04.06.2015, 22:00

Mi_cha

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hm, du bist doch fertig verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-3C} }{-3} \end{eqnarray*}$ ist doch lediglich eine Konstante. Damit hast du das gewünschte Ergebnis.

PS auch wenn ich der Rechnung nicht ganz folgen kann, scheint sie richtig zu sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.06.2015, 22:05

Wee

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ah ok und woran erkennst du das der ausdruck die konstante ist? sowas verwirrt mich immer
$\begin{eqnarray*} e^{-3C} \end{eqnarray*}$ versteh ich ja noch aber du teilst doch durch -3 kannst doch dann nicht einfach da reinpacken heist ja im nenner $\begin{eqnarray*} -3*x^2 \end{eqnarray*}$ ?
PS hab den anfang mit ln umformen etc weggelassen war mir zu viel schreibarbeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.06.2015, 22:07

Mi_cha

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sowohl die $\begin{eqnarray*} -3 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} e^{-3C} \end{eqnarray*}$ sind konstant. Konstante mal Konstante ist immer noch eine Konstante

04.06.2015, 22:09

Wee

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also wie wenn ichs zb vors integral ziehe kann ich einfach den ausdruck als C definieren?

04.06.2015, 22:14

Mi_cha

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das kannst du machen

04.06.2015, 22:14

Wee

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gut vielen dank für deine hilfe Wink

Wink

04.06.2015, 22:24

Mi_cha

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gerne

Wink

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