Messbarkeit zweier messbarer Funktionen

03.06.2015, 20:58

telli

Messbarkeit zweier messbarer Funktionen

Ich möchte zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ messbar sind, dann auch $\begin{eqnarray*} X + Y \end{eqnarray*}$ messbar ist.

Ich versuche die Menge $\begin{eqnarray*} (X+Y)^{-1}(B) = \{ w\in \Omega | X(w)+Y(w) \in B \},B\in Borel \end{eqnarray*}$ anders darzustellen, so dass ich die Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ benutzen kann. Leider bin ich nicht sonderlich weit gekommen.

Ich möchte unbedingt verstehen wie man das hier allgemein mit der allgemeinen Definition $\begin{eqnarray*} B\in Borel \end{eqnarray*}$ löst und nicht mit Stetigkeit bzw. kleiner gleich Definition.

03.06.2015, 21:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von telli
Ich möchte unbedingt verstehen wie man das hier allgemein mit der allgemeinen Definition $\begin{eqnarray*} B\in Borel \end{eqnarray*}$ löst und nicht mit Stetigkeit bzw. kleiner gleich Definition.

Verstehe ich das richtig? Du willst z.B. nicht nutzen, dass beispielsweise die Menge aller Intervalle $\begin{align*} (-\infty,x) \end{align*}$ ein Erzeugendensystem der Borel-Sigma-Algebra $\begin{align*} \mathcal{B} \end{align*}$ ist?

Dann tut es mir leid, weil dann nützt dir mein beabsichtigter Vorschlag nichts. Wink

03.06.2015, 22:17

telli

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Ja genau. Also du möchtest doch dieses Erzeugendensystem betrachten und schauen ob dessen Urbilder in der sigma Algebra liegen? Geht dieser Beweis denn nur über Erzeuger? Ich dachte eher an eine geschickte Zerlegung der Menge, so dass aus den Bedingungen (X und Y messbar) die Behauptung folgt.

03.06.2015, 22:18

HAL 9000

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Wenn man nicht gerade einen wohlbegründet erfolgversprechenden Plan für eine Alternativlösung hat, dann sollte man bewährte, leicht verständliche elementare Beweistechniken nicht von vornherein ausschließen. Also erzähl mal deinen Plan, wie du Urbilder von Borelmengen anders in den Griff kriegen willst. verwirrt

EDIT: Ja, so in etwas hatte ich das erwartet. Der Weg über das Erzeugendensystem $\begin{align*} E= \left\{ (-\infty,x) \bigm| x\in\mathbb{R} \right\} \end{align*}$ mit bekanntlich $\begin{align*} \mathcal{B} = \sigma(E) \end{align*}$ kann so laufen: Es besteht die Identität

$\begin{align*} (X+Y)^{-1}((-\infty,x)) = \bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}} \left[ X^{-1}((-\infty,q))\cap Y^{-1}((-\infty,x-q)) \right]\qquad (*) \end{align*}$ ,

dabei kennzeichnt $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ wie üblich die rationalen Zahlen. Richtung $\begin{align*} \supseteq \end{align*}$ ist einfach zu sehen, der andere Teil $\begin{align*} \subseteq \end{align*}$ ist vielleicht etwas schwerer. Augenzwinkern

Da alle Mengen $\begin{align*} X^{-1}((-\infty,q)),Y^{-1}((-\infty,x-q)) \end{align*}$ in $\begin{align*} \mathcal{B} \end{align*}$ liegen und die Vereinigung in (*) abzählbar ist, liegt auch $\begin{align*} (X+Y)^{-1}((-\infty,x)) \end{align*}$ in $\begin{align*} \mathcal{B} \end{align*}$ , womit der Beweis erbracht ist.

Anmerkung: Es ist klar, dass der Beweis mit Zentrum (*) stark auf der Intervallstruktur $\begin{align*} (-\infty,x) \end{align*}$ aufbaut, das kann man dort nicht einfach durch eine allgemeine Borelmenge ersetzen. Selbst der Ersatz durch ein abgeschlossenes Intervall

$\begin{align*} (X+Y)^{-1}((-\infty,x]) \stackrel{?}{=} \bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}} \left[ X^{-1}((-\infty,q])\cap Y^{-1}((-\infty,x-q]) \right] \end{align*}$

wäre falsch, es gilt da nämlich i.a. nur $\begin{align*} \supseteq \end{align*}$ statt $\begin{align*} = \end{align*}$ .

EDIT: Schreibfehler korrigiert: Da stand (*) an einer Stelle, wo offenkundig $\begin{align*} \mathcal{B} \end{align*}$ hingehört. Augenzwinkern

04.06.2015, 11:31

telli

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Danke für die ausführliche Erklärung. Ich kann leider nicht nachvollziehen, wieso (*) gilt.

Ich habe versucht so was zu machen:

$\begin{eqnarray*} X(w) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(w) \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}-\mathfrak{B}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ messbar.

Das heisst:
$\begin{eqnarray*} X(B)^{-1} = \{w \in \Omega | X(w) \in B \} \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} Y(B)^{-1} = \{w \in \Omega | Y(w) \in B \} \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} B \in \mathfrak{B}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

dann existieren Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so dass:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) \in (-\infty,a] \} = \{w \in \Omega | X(w) \leq a \} \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | Y(w) \in (-\infty,b] \} = \{w \in \Omega | Y(w) \leq b \} \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$

da Schnittmengen auch in der Sigma-Algebra enthalten sind gilt:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) \leq a \} \cap \{w \in \Omega | Y(w) \leq b \} \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$

es gilt weiter:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) \leq a \} \cap \{w \in \Omega | Y(w) \leq b \} = \{w \in \Omega |X(w) \leq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(w) \leq b \} = \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) \leq a+b\} \end{eqnarray*}$

sei $\begin{eqnarray*} c:=a+b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ dann ist:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) \leq a+b \} = \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) \leq c \} = \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) \in (-\infty , c] \} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} (-\infty,c] \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra ist gilt:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) \in B \} \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B \in \mathfrak{B}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

04.06.2015, 11:37

HAL 9000

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Alles soweit richtig, bis hierhin:

Zitat:

Original von telli
es gilt weiter:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) \leq a \} \cap \{w \in \Omega | Y(w) \leq b \} = \{w \in \Omega |X(w) \leq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(w) \leq b \}~{\color{red}=}~\{w \in \Omega | X(w) + Y(w) \leq a+b\} \end{eqnarray*}$

Denk mal drüber nach, warum Gleichheitszeichen $\begin{eqnarray*} {\color{red}=} \end{eqnarray*}$ falsch ist.

04.06.2015, 11:50

telli

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Zitat:

Alles soweit richtig, bis hierhin:

Zitat:
Original von telli
es gilt weiter:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) \leq a \} \cap \{w \in \Omega | Y(w) \leq b \} = \{w \in \Omega |X(w) \leq a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(w) \leq b \}~{\color{red}=}~\{w \in \Omega | X(w) + Y(w) \leq a+b\} \end{eqnarray*}$

Denk mal drüber nach, warum Gleichheitszeichen $\begin{eqnarray*} {\color{red}=} \end{eqnarray*}$ falsch ist.

Hmm... Es kann zum Beispiel sein, dass für Werte $\begin{eqnarray*} X(w) \leq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y(w) \leq a \end{eqnarray*}$ ebenfalls $\begin{eqnarray*} X(w) + Y(w) \leq a+b \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist jetzt blöd verwirrt

lässt sich das irgendwie zurechtbiegen oder ist dieser Ansatz jetzt völlig daneben?

04.06.2015, 11:54

HAL 9000

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Es kann noch viel mehr sein - zur Illustration ein supereinfaches Gegenbeispiel:

$\begin{align*} \Omega \end{align*}$ beliebig und $\begin{align*} X=Y=0 \end{align*}$ (also konstante Zufallsgrößen), und wir wählen $\begin{align*} a=-1,b=1 \end{align*}$ .

$\begin{align*} \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq a \} = \{\},\; \{\omega \in \Omega \mid Y(\omega) \leq b \} = \Omega \quad \Rightarrow\quad \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq a \} \cap \{\omega \in \Omega \mid Y(\omega) \leq b \} = \{\} \end{align*}$ ,

aber

$\begin{align*} \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) + Y(\omega) \leq a+b\} = \Omega \end{align*}$

Wie man es zurechtbiegen kann, steht ja in meiner Beweisskizze oben: Man betrachtet gewisse Vereinigungen solcher Schnitte, also nicht nur für ein Paar $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ , sondern mehrere (oben eben abzählbar viele).

Zitat:

Original von HAL 9000
Richtung $\begin{align*} \supseteq \end{align*}$ ist einfach zu sehen, der andere Teil $\begin{align*} \subseteq \end{align*}$ ist vielleicht etwas schwerer. Augenzwinkern

Zumindest den ersten Teil solltest du doch hinkriegen, oder?

04.06.2015, 13:10

telli

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Habe so was bekommen:

$\begin{eqnarray*} X^{-1}((-\infty,q)) = \{w \in \Omega | X(w) < q\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y^{-1}((-\infty,x-q)) = \{w \in \Omega | X(w) < x-q\} \end{eqnarray*}$

dann ist:
$\begin{eqnarray*} X^{-1}((-\infty,q))\cap Y^{-1}((-\infty,x-q)) = \{w \in \Omega | X(w) < q, Y(w) < x-q \} \end{eqnarray*}$

es gelten:
$\begin{eqnarray*} X < q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y < x - q \rightarrow q < x - Y \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} X < Y - x \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} X + Y < x \end{eqnarray*}$

folglich:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) < q, Y(w) < x-q \} = \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) < x \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{q \in \mathbb Q} \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) < x \} = \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) < x \} = (X+Y)^{-1}((-\infty,x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (X+Y)^{-1}((-\infty,x)) = \bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}} \left[ X^{-1}((-\infty,q))\cap Y^{-1}((-\infty,x-q)) \right]\qquad \end{eqnarray*}$

EDIT: Ich glaube, ich habe wieder ein paar Gleichheiten zuviel.

04.06.2015, 13:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von telli
folglich:
$\begin{eqnarray*} \{w \in \Omega | X(w) < q, Y(w) < x-q \} = \{w \in \Omega | X(w) + Y(w) < x \} \end{eqnarray*}$

Nein, nein, nein!!! Derselbe Fehler wie oben, anscheinend hast du den immer noch nicht verarbeitet. unglücklich

Aus den vorstehenden Begründungen kannst du nur

$\begin{align*} X(\omega) < q\,\wedge\, Y(\omega) < x-q \quad \Rightarrow \quad X(\omega)+Y(\omega) < x \end{align*}$

schlussfolgern, aber NICHT die Rückrichtung $\begin{align*} \Leftarrow \end{align*}$ . unglücklich

Demzufolge gilt auch nur

$\begin{align*} \left\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) < q, Y(\omega) < x-q \right\} ~{\color{red}\subseteq}~ \left\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) + Y(\omega) < x \right\} \end{align*}$ .

04.06.2015, 13:54

telli

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ok ok ok

) hab's kappiert danke! Freude

04.06.2015, 17:18

HAL 9000

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Damit ist dann auch der Beweisteil

$\begin{align*} (X+Y)^{-1}((-\infty,x)) \supseteq \bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}} \left[ X^{-1}((-\infty,q))\cap Y^{-1}((-\infty,x-q)) \right] \end{align*}$

von Identität (*) erledigt. Ich nehme an, zum anderen Teil

$\begin{align*} (X+Y)^{-1}((-\infty,x)) \subseteq \bigcup\limits_{q\in\mathbb{Q}} \left[ X^{-1}((-\infty,q))\cap Y^{-1}((-\infty,x-q)) \right] \end{align*}$

willst du noch ein wenig probieren? Dazu kann ich nur noch verraten: Statt $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ hätte man auch jede andere abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ nehmen können, die dicht in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ liegt - denn genau das wird im Beweis benötigt.

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