Fourierreihenentwicklung, kleine Frage

04.06.2015, 11:30

DrHWI

Fourierreihenentwicklung, kleine Frage

Meine Frage:
Hallihallo,

ich übe momentan an der Fourierreihenentwicklung und habe soeben mit der ersten Aufgabe begonnen...wobei mir natürlich sofort ein Problem entgegengesprungen kam. Augenzwinkern

Meine Aufgabe ist es die Fourierreihe von $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \,\, ]-\pi;\pi[ \end{eqnarray*}$ zu entwickeln.

Meine Ideen:
Bisher habe ich also $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bestimmt, da alle $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ja wegfallen, denn ich habe eine achsensymmetrische Funktion.

Für $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ bekam ich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ heraus, während ich für $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2}{\pi}(\frac{1}{n^2}cos\,\, n\pi -\frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$ berechnet habe und glücklicherweise stimmt dies auch mit der Musterlösung überein, die ich besitze. Ich habe das Ganze dann nochmal umgewandelt in
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2}{\pi}*(\frac{(-1)^n}{n^2}-\frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$

Nun steht in der Musterlösung des Weiteren, dass für alle geraden $\begin{eqnarray*} a_n = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Dies kann ich ja auch nachweisen an meinen beiden Formeln, die ich aufgestellt habe, wenn ich für alle n eine gerade Zahl einsetze. Jedoch gilt für alle ungeraden $\begin{eqnarray*} a_n=-\frac{4}{n^2\pi} \end{eqnarray*}$ . Und hier fange ich an zu zweifeln, da ich nicht weiß, wie ich auf solch ein Ergebnis komme. unglücklich

Zudem soll meine fertige Fourierreihe lauten

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}cos\,\, x-\frac{4}{9\pi}cos\,\, 3x-\frac{4}{25\pi}cos(5x)-... \end{eqnarray*}$

Wie genau komme ich denn auf mein $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a_0=\pi \end{eqnarray*}$ ist? unglücklich

Wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe! smile

04.06.2015, 14:19

HAL 9000

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manche Fragen sind mehr als flüssig, sie sind üb...

Zitat:

Original von DrHWI
Wie genau komme ich denn auf mein $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} a_0=\pi \end{eqnarray*}$ ist?

Vielleicht einfach deshalb, weil die Fourierreihe termmäßig mit $\begin{align*} \frac{a_0}{2} \end{align*}$ statt $\begin{align*} a_0 \end{align*}$ startet? smile

$\begin{align*} \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(kt\right)+b_{k}\sin\left(kt\right)\right) \end{align*}$

Ansonsten: $\begin{align*} (-1)^n = 1 \end{align*}$ für gerade $\begin{align*} n \end{align*}$ , und $\begin{align*} (-1)^n = -1 \end{align*}$ für ungerade $\begin{align*} n \end{align*}$ - einfach einsetzen, vereinfachen und "staunen".

05.06.2015, 13:39

DrHWI

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Auwei, da hat mir anscheinend einfach ein Stück Theorie gefehlt und das mit dem ungeraden n macht natürlich auch absolut Sinn... Anscheinend habe ich nicht genug nachgedacht. Hammer

Vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe! Gott

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