Kurvenintegral

04.06.2015, 11:34	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral Hallo, ich habe bei diesem Bsp. Teil d) folgendes Problem: ich kann die Funktion nicht wirklich parametrisieren und dann das Integral auswerten, weil es gilt: $\begin{eqnarray} \int_{C} \! \vec{v} \, d\vec{x} =\int_{a}^{b} \! F_x(x(t),y(t)) \dot x(t)+F_y(x(t),y(t))\dot y(t) \, dt \end{eqnarray}$ Aber wie kann man diesen Vekor $\begin{eqnarray} \vec{v}(x,y)=\begin{pmatrix} sin(x)+y²\\ 2xy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ parametrisieren? die Potentialfunktion lautet: $\begin{eqnarray} F(x,y)=-cos(x)+y^2x+c:c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ ich könnte auch dieses auswerten: $\begin{eqnarray} [0,2 \pi] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(t)=R \cdot cos(t)<br /> y(t)=R \cdot sin(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(x(b),y(b))-F(x(a),y(a)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} F(x(2 \pi),y(2 \pi))-F(x(0),y(0))=-cos(R \cdot cos(2 \pi))+R³ (sin(2 \pi))^2 cos(2 \pi)-[-cos(R \cdot cos(0))+R³ (sin(0))^2 cos(0)]=[-1+1]cos(R)=0 \end{eqnarray}$ darf man das...ist somit gezeigt, dass das Kurvenintegral einer geschlossenen Kurve immer 0 sein muss. Würde mich freuen, wenn mir jemand antwortet, danke. [attach]38292[/attach]
04.06.2015, 13:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Potenzialfunktion F(x,y) richtig berechnet. Damit kann man das Integral vom beliebigen Punkt $\begin{eqnarray} (x_1,y_1) \end{eqnarray}$ zum beliebigen Punkt $\begin{eqnarray} (x_2,y_2) \end{eqnarray}$ leicht angeben, indem man einfach die Differenz $\begin{eqnarray} F(x_2,y_2)-F(x_1,y_1) \end{eqnarray}$ berechnet. Bei Kenntnis der Potenzialfunktion muss man also die konkrete Kurve gar nicht kennen. Das ist der Witz der Sache! Im Falle eine geschlossenen Kurve stimmen Anfangs- und Endpunkt überein, so dass diese Differenz verschwindet (und folglich das Integral).
04.06.2015, 15:18	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, für deine Antwort, dass hab ich mir auch gedacht, dass ich nicht wirklich eine Kurve kennen muss, da Potentialfelder wegunabhängig sind und der Wert des Integrals eine Skalare ergibt (F(Endpunkt) -F( Anfangspunkt)) Nur weil es mich jetzt noch interessiert, ist eine Parametrisierung hier möglich?
05.06.2015, 09:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da du keine konkrete Kurve gegeben hast, ist eine Parametrisierung der Kurve nicht möglich. Wenn man nur einen Anfangs- und einen Endpunkt gegeben hat, kann man sich selbst eine beliebige Kurve zwischen beiden Punkten wählen (einfacherweise eine Gerade) und das Kurvenintegral dafür berechnen. Für beliebige Kurven zwschen beiden Punkten müsste das Integral das gleicher Ergebnis liefern.

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