Selbstadjungierte Operatoren

04.06.2015, 12:03	Connie	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstadjungierte Operatoren Hey Ich bearbeite zur Zeit folgende Aufgabe: Sei V ein euklidischer Raum und $\begin{eqnarray} F \in End(V) \end{eqnarray}$ selbstadjungiert. Zeigen Sie, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} G=F^2+\alpha F+\beta id, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , invertierbar ist für $\begin{eqnarray} \alpha^2 < 4 \beta \end{eqnarray}$ . Als Hinweis ist gegeben, dass man die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung verwenden soll. Meine Idee war irgendwie am Ende die Determinante von der darstellenden Matrix von G mit Hilfe von Cauchy-Schwarz größer als null abzuschätzen. Leider habe ich aber ansonsten überhapt keine Idee. Könnt ihr mir einen Tipp geben?
04.06.2015, 12:40	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei E die Einheitsmatrix und D eine Drehmatrix, also $\begin{eqnarray} \det(D)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} DD^T=E \end{eqnarray}$ . Dann ist kann man mit der bekannten Formel $\begin{eqnarray} \det(A)\cdot \det(B)=\det(AB) \end{eqnarray}$ zeigen, dass für die Determinante gilt $\begin{eqnarray} \det(F^2+\alpha F+\beta E)=\det(D^TF\underbrace{D\,D^T}_{=E}FD+\alpha D^TFD+\beta E) \end{eqnarray}$ Wenn die Zeilen/Spaalten der Drehmatrix gerade die normierten und orthogonalen Eigenvektoren der Matrix F sind (was bei selbstadjungierten Matrizen stets möglich ist) so ist die Matrix $\begin{eqnarray} D^TFD \end{eqnarray}$ gerade diejenige Diagonalmaterix, in deren Diagonalen die Eigenwerte von F stehen, also $\begin{eqnarray} D^TFD=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & ... & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir bekommen also $\begin{eqnarray} \det(F^2+\alpha F+\beta E)=\det \left (\begin{pmatrix} \lambda_1^2 & & \\ & ... & \\ & & \lambda_n^2 \end{pmatrix}+\alpha \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & ... & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} 1 & & \\ & ... & \\ & & 1 \end{pmatrix} \right ) \end{eqnarray}$ Nun kann man leicht zeigen, wann diese Determinante nicht Null wird und damit invertierbar ist.

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