Nachweis über Induktion (2)

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04.06.2015, 13:37	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis über Induktion (2) Zeigen Sie, dass alle Folgeglieder b_n der Folge (b_n) mit $\begin{eqnarray} b_n = \frac{6^{2n + 1} - 1}{5} - 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}_{>0} \end{eqnarray}$ durch 7 teilbar sind. Der Induktionsanfang gelingt. Nun die Behauptung: $\begin{eqnarray} b_{n+1} = \frac{6^{2n + 3} - 1}{5} - 1 \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich leider nicht wie es weiter geht. Die Lösung ist erstmal auch nicht so aufschlussreich bzw. ich versteh sie nicht. Kann jemand helfen? Jetzt müsste ja der Nachweis kommen.. Aber wie fang ich den an?
04.06.2015, 14:56	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst zunächst $\begin{eqnarray} 6^{2n+3} = 6^{2n+1} \cdot 6^2 =6^{2n+1} \cdot 36 \end{eqnarray}$ umformen. Dann schreibst du $\begin{eqnarray} 36 =35+1 \end{eqnarray}$ und machst aus dem o.g. Produkt eine Summe. Nun kannst du den Bruch derart geeignet in zwei Teile zerlegen, dass du schon fast am Ende bist
04.06.2015, 15:38	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die Umformung versteh ich..Somit steht dann da $\begin{eqnarray} \frac{36 \cdot 6^{2n + 1} - 1}{5}-1 \end{eqnarray}$ Wieso soll ich jetzt $\begin{eqnarray} 36 = 35 + 1 \end{eqnarray}$ rechnen? Wie kann ich das dann zerlegen?
04.06.2015, 15:53	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
mach es mal und wende dann das Distributivgesetz auf $\begin{eqnarray} (35+1) \cdot 6^{2n+1} \end{eqnarray}$ an.
04.06.2015, 15:59	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä $\begin{eqnarray} 210^{2n+1} + 6^{2n+1} \end{eqnarray}$ So? Wohl kaum
04.06.2015, 16:06	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ne, so nicht. Dsa ist zudem auch falsch. Es sollte $\begin{eqnarray} 1 \cdot 6^{2n+1}+ 35 \cdot 6^{2n+1} \end{eqnarray}$ lauten. Nun den Bruch auseinanderziehen, sodass man die IV stehen hat.
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04.06.2015, 16:15	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen Bruch? Den? $\begin{eqnarray} \frac{36 \cdot 6^{2n + 1} - 1}{5}-1 \end{eqnarray}$ So`? $\begin{eqnarray} \frac{ 6^{2n + 1} - 1}{5}-1 + \frac{35 \cdot 6^{2n + 1} - 1}{5}-1 \end{eqnarray}$ Ich bin anscheinend einfach echt zu blöd für solche Aufgaben. Bei sowas Nachweis über Induktion krieg ichs hin. Aber bei dieser Aufgabe weiß ich ab der Induktionsbehauptung einfach nicht was ich als nächstes machen soll. Warum außerdem 35 + 1 = 36 und nicht 34 + 2 = 36? Den Grund dafür versteh ich auch nicht.
04.06.2015, 16:22	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
fast. Nur die -1 ist einmal zuviel. Warum gerade 35+1 und nicht etwa 34+2 zeigt sich jetzt: $\begin{eqnarray} \underbrace{\frac{6^{2n+1}-1}{5}-1}_{\text {ist nach IV durch 7 teilbar}} + \frac{35 \cdot 6^{2n+1}}{5} \end{eqnarray}$ beim zweiten Bruch noch kürzen und du bist fertig
04.06.2015, 16:26	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum darf dann da jetzt keine -1 mehr stehen? $\begin{eqnarray} 7 \cdot 6^{2n+1} \end{eqnarray}$ ?
04.06.2015, 16:32	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann ausführlich $\begin{eqnarray} \frac{6^{2n+1}+35 \cdot 6^{2n+1)}-1}{5}-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{6^{2n+1}-1}{5}+ \frac{35 \cdot 6^{2n+1}}{5}-1 \end{eqnarray}$ ] Die -1 steht außerhalb des Bruches. zum zweiten: ja, richtig gekürzt. Klar, warum du nun fertig bist?
04.06.2015, 16:42	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt nicht, nein. Wenn ich nun für n eine Zahl einsetz, und alles ausrechne, dann ist das durch 7 teilbar. Aber warum weiß ich auch nicht. Wie gesagt, ich versteh die ganze Vorgehensweise nicht, was ich da überhaupt ausrechne.
04.06.2015, 16:50	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
die Vorgehensweise ist eigentlich immer dieselbe - man versucht durch Umformungen die Induktionsvoraussetzung plus/mal irgendwas heraus zu bekommen. Bei dem Teil mit der Induktionsvoraussetzung ist es klar, dass er das Gewünschte (hier ein Vielfaches von 7) erfüllt. Bei dem zweiten Teil muss man dann schauen, ob es auch erfüllt ist. Hier hast du 2 Summanden, von denen der eine gerade die IV ist, also ein Vielfaches von 7 ist. Der zweite Summand ist auch ein ganzzahliges Vielfaches von 7, da 6^{2n+1} eine gerade Zahl ist. Und die Summe zweier Zahlen, die jeweils Vielfache von 7 sind, ist ebenfalls ein Vielfaches von 7.
04.06.2015, 16:54	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm okay.. Und was wurde hier gemacht? http://fs2.directupload.net/images/150604/p3yu5ftq.png
04.06.2015, 16:59	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Stelle meinst du genau? Oder soll ich jeden Schritt erklären? Man hat sich des Trickes bedienst und ein "künstliche Null" hinzugefügt (-35+35). Das Grundschema ist aber das gleiche, was ich gemacht habe: man hat den Bruch geteilt, die IV aus genutzt und soweit umgeformt, bis man das gewüschte Ergebnis ablesen kann. PS wenn du das unzählige Male sehen möchtest, empfehle ich dieses: Induktion
04.06.2015, 17:08	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun gut.. lassen wir es dabei. Danke für die Hilfe
04.06.2015, 17:10	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
wie du magst. Ich erkläre das gerne. Ansonsten frag nochmal nach.
04.06.2015, 17:13	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh es eh nicht, deshalb können wir uns das getippe sparen. Danke für deine Mühe.
04.06.2015, 17:19	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur nicht resignieren. Die Lösung, die du geschickt hast, ist ziemlich umständlich. Auf diese Idee wäre ich nie gekommen. Schau dir nochmal unsere Lösung in Ruhe an.
04.06.2015, 17:36	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin von Mathe inzwischen einfach nur noch genervt. Vor einem Jahr mein Lieblingsfach verkommt es nun zum Hassfach. Monotonienachweis konnte ich mal im Schlaf, heute klappt nichts mehr. Wir kriegen Induktion beigebracht, ich verstehs. Mach 2 Übungsaufgaben, klappt. Und jetzt hab ich nur noch Aufgaben, die ich einfach nicht verstehe. Wenn du willst, kannst du mir ja noch versuchen zu erklären, wie diese Aufgabe geht: Nachweis über Induktion (3)
05.06.2015, 14:30	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachweis über Induktion (2) Induktionsschritt: $\begin{align} b_{n+1}=&\frac{6^{2n+3}-1}{5}-1\\=&\frac{36\cdot 6^{2n+1}-1}{5}-1\\=&\frac{35\cdot 6^{2n+1}}{5}+\frac{ 6^{2n+1}-1}{5}-1\\=&7\cdot 6^{2n+1}+b_n \end{align}$ Also: Wenn $\begin{align} 7\mid b_n \end{align}$ , dann auch $\begin{align} 7\mid b_{n+1} \end{align}$ . Mit dem Induktionsanfang $\begin{align} b_{0}=0 \end{align}$ ist damit bewiesen, dass alle $\begin{align} b_n \end{align}$ durch 7 teilbar sind.

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