Abbildungen Bewegungen

04.06.2015, 14:27	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen Bewegungen Hallo zusammen, mir wurde folgende Aufgabe gegeben die ich zu lösen habe. Überprüfen Sie die folgende Abbildung ob sie eine Bewegung ist und bestimmen Sie gegebenfalls den geometrischen Typ, die zugehörigen Parameter (z.B. bei einer Verschiebung den Verschiebungsvektor) und die Fixpunkte dieser Bewegung. $\begin{eqnarray} x\mapsto \begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mir fehlt noch ein Ansatz was ich jetzt eigentlich zu tun habe. Die Abbildung hat die Form einer Geraden mit $\begin{eqnarray} Ax+B \end{eqnarray}$ . Kann mir jemand helfen und eventuell ein paar Hinweise geben was ich jetzt zu tun habe und auch wie? Das wäre ziemlich hilfreich. Dankeschön
05.06.2015, 00:07	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen Bewegungen Hallo, eine Bewegung ist dadurch charakterisiert, dass die Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ orthogonal ist, also $\begin{eqnarray} A^T A = I \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} det(A) = 1 \end{eqnarray}$ , handelt es sich um eine eigentliche Bewegung (Verschiebung, Drehung oder Schraubung). Falls $\begin{eqnarray} det(A) = -1 \end{eqnarray}$ , handelt es sich um eine uneigentliche Bewegung (Ebenen-, Gleit-, Dreh- oder Punktspiegelung). Diese Kriterien kann man einfach ausrechnen. Danach kannst du noch zusätzliche Parameter wie Fixpunkte und dergleichen ausrechnen um die Bewegung genauer zu spezifizieren. Lg, daLoisl
05.06.2015, 09:55	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo daLoisi, ich habe das jetzt mal nachgerechnet und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist orthogonal. Also es gilt $\begin{eqnarray} A^{t}A=I \end{eqnarray}$ . Anschließend habe ich die Determinante von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ berechnet. Da erhalte ich $\begin{eqnarray} detA=-1 \end{eqnarray}$ . Also muss es eine uneigentliche Bewegung sein (Ebenen-, Gleit-, Dreh- oder Punktspiegelung). Kann ich das jetzt noch weiter untersuchen oder war es das schon? WIe bestimmt man denn die Fixpunkte? Ich habe noch davon gelesen das es Drehmatrizen gibt mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ im zweidimensionalen. Dies lässt sich allerdings auch auf den 3dim. erweitern. Werden diese auch benötigt? Danke für deine Hilfe!
05.06.2015, 10:15	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkte sind jene Punkte, die durch die Abbildung wieder auf sich selbst abgebildet werden. Sie können durch die sogenannte Fixpunktgleichung berechnet werden, also: $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}x+\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch Umformung (Erweiterung mit der Einheitsmatrix auf der linken Seite) erhält man: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 2 &-1 \\ -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}x = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Alle Lösungen dieser Gleichung sind dann Fixpunkte. Dreh- und Punktspiegelungen haben genau einen Fixpunkt, Gleitspiegelungen keinen und Ebenenspiegelungen eine ganze Ebene. Drehmatrizen haben immer Determinante 1, d. h. sie geben eine eigentliche Bewegung an.
05.06.2015, 16:15	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo daLaoisl, also ein Fixpunkt ist ja ein Punkt der sich unter einer Abbildung nicht verändert. Bei einer Funktion wäre das z.B. sowas wie $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ . Da ich hier eine lineare Abbildung vorliegen habe müsste das Konzept eiegtnlich übertragbar sein. Dann setze ich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich das LGS einmal löse komme ich auf: $\begin{eqnarray} x_1=-1/4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=11/20 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=7/20 \end{eqnarray}$ Das heißt also dieser Punkt ist ein Fixpunkt. Soll heißen, wenn ich diesen in meine Abbildung hineinschmeiße, erhalte ich den selben Ausdruck wieder. Das heißt also es handelt sich um eine Punktspiegelung. Mehr brauche ich bei der Aufgabe nicht zu zeigen? Gruß!

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