Nachweis über Induktion (3)

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Rivago Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis über Induktion (3)
Ein zu Jahresbeginn gewährter Bankdarlehen € wird in festen Jahresbeiträgen von 10000 € zurückgezahlt. Dieser Jahresbetrag ist am Ende eines jeden Jahres fällig und enthält den Zins und die Tilgung. er Zins beträgt 4% von der das Jahr über vorhandenen Restschuld. Sn ist die Restschuld nach dem n-ten Jahr.
Zeigen Sie, dass gilt:

mit

Die Behauptung ist ja dann

Und nun? Wie beweis ich das jetzt?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle einmal die Rekursionsvorschrift auf.

Beweise dann, dass

gilt.
Dies ist die geometrische Summenformel und die darfst du sicherlich auch ohne Beweis verwenden, weil ihr das sicherlich bereits gezeigt habt.
Ansonsten zeige es. Dies ist nicht weiter schwierig. Bei dem Induktionsbeweis muss nicht viel gearbeitet werden um das Ergebnis zu erhalten.
Ansonsten kann man diese Gleichheit auch ohne Induktion zeigen, was im Grunde einfacher ist, aber nicht so intuitiv.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

das hier ist etwas kniffliger, als Induktion (2).

Ich versuche es trotzdem mal:







jetzt die neuen Klammern ausmultiplizieren und so sortieren, dass dasteht.

Edit: bin raus Wink
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MagFassLehrt
Stelle einmal die Rekursionsvorschrift auf.

Beweise dann, dass

gilt.
Dies ist die geometrische Summenformel und die darfst du sicherlich auch ohne Beweis verwenden, weil ihr das sicherlich bereits gezeigt habt.
Ansonsten zeige es. Dies ist nicht weiter schwierig. Bei dem Induktionsbeweis muss nicht viel gearbeitet werden um das Ergebnis zu erhalten.
Ansonsten kann man diese Gleichheit auch ohne Induktion zeigen, was im Grunde einfacher ist, aber nicht so intuitiv.


Ist es nicht eher

?

In der Musterlösung macht man es so: Man bildet die Induktionsbehauptung, also setzt halt "n+1" ein. Und dann steht da jetzt " Es ist nun "

Jetzt setzt man halt ein, multipliziert aus und ist fertig.

Aber wie kommen die auf

?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

nur ein kleiner Einwurf:

wenn bei meinem Post ab der zweiten Zeile bei beiden Summanden 1,04 ausklammerst und im weiteren Verlauf beim zweiten Summanden ggf. eine künstliche Null einfügst, kommst du auf
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mi_cha




Also da jetzt 1,04 ausklammern? Wie geht das mit der künstlichen 0?


Kann man da nicht auch irgendwie sofort darauf schließen, ohne das man ständig was ausklammern und einfügen muss?

In der Musterlösung kommt es so rüber, dass es sofort ersichtlich ist, dass ist.
 
 
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist es nicht sofort ersichtlich, dass das Geünschte rauskommt.

Klammere mal die 1,04 aus. Dann musst du, um auf das richtige Ergebnis zu kommen, in Zähler des Bruches einfügen.
Dann siehst du vielleicht, wie es weitergeht.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.. wie soll das denn da gehen? Ich kann doch nicht ausklammern?!



So ist es wahrscheinlich falsch..
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ist es.

Der Anfang lautet:






-----

Aber eigenltich war ich ja raus aus dem Thread. Ich hoffe, dass MagfassLehrt nimmt mir das nicht übel. Augenzwinkern
Es ist sonst nicht meine Art, in fremden Threads zu interagieren.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mi_cha
ja, ist es.

Der Anfang lautet:




Wo kommt denn nun hier wieder die 1,04 vor der 10000 her unglücklich
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

naja, ich wollte das Ausklammern andeuten. Ich habe die 1,04 aus dem Bruch ausgeklammert. Dieser muss natürlich dann entsprechend umgeformt werden.
Daher auch die Pünktchen.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »





So dann?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du die 1,04 wieder in den Bruch rechnest, siehst du, dass es nicht stimmen kann.

Richtig ist:



Jetzt ausklammern. Dann kommt die von mir angesprochene Addition der "Null" ins Spiel, so dass man die Gestalt von erhält.

Edit: in deinem Edit hast du richtig augeklammert. Nun noch den Bruch korrigieren, wie von mir beschrieben.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »





Dann sollte es jetzt stimmen?!

Und jetzt die 0 einführen:



Ist das richtig? Wenn ja, wieso macht man das? Ich versteh den Sinn dahinter immer noch nicht unglücklich
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

So stimmt es. Ich habe mich bei meinem Tipp leider vertippt. Man muss rechnen. Verzeihung.

Das ergibt dann, wenn ich ein wenig zusammenfasse:





Du siehst, dass ist. Wenn du nun den Bruch auseinanderziehst, erkennst du die Gestalt von hoffentlich wieder.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht doch aber

Und das ergibt nicht 1, sondern

verwirrt
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

guck nochmal genau hin, ich habe gerechnet. Die sind ja noch übrig.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, da hab ich jetzt wirklich nicht richtig geguckt Hammer



Wie zieh ich das jetzt gescheit auseinander?

Wenn ich die 4/104 jetzt einfach weglassen würde, ist das ja S_n. Aber dann fehlen mir trotzdem noch die -10000 nach der Klammer.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ich ziehe es dir noch auseinander, dann bin ich weg für heute.







ich hoffe, dass ich mich nicht verschrieben habe.

Zur Not gucke ich morgen nochmal drüber.
Wink
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »




Und was passiert dann jetzt noch mit den ?

Die Formel sollte ja eigentlich heißen..
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist mein Vertipper. Eine Klammer war an der falschen Stelle:


Wenn du den letzten Summanden mit 1,04 mal nimmst, bist du fertig.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, glaub ich habs verstanden smile Den Rest krieg ich dann alleine hin smile

Danke für deine Mühe und Geduld Freude Wink
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachweis über Induktion (3)
Mach ich das mal ganz allgemein, denn das ist übersichtlicher, als ständig mit konkreten Werten zu operieren.


Dem Aufgabentext kann man die Rekursionsvorschrift entnehmen, wie sich die Restschuld von einem zum nächsten Jahr entwickelt:


Die Formel für die Restschuld

ist anhand der Rekursionsformel zu verifizieren.



und das ist gerade die Rekursionsformel. q.e.d.
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