Integrale berechnen

04.06.2015, 20:27

Cl3audia

Integrale berechnen

Meine Frage:
Hey,

berechnen soll ich die folgenden Integrale (falls sinnvoll)

$\begin{eqnarray*} a) \int_0^1 (x-e^x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \int_1^2 \sqrt{x} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \int_0^\pi 4 \cos(3x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) \int_2^3 \frac{1}{x^2} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e) \int_{-1}^1 t \sqrt{9-t^2} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f) \lim_{t \rightarrow \infty }\int_{0}^t \frac{1}{1+t^2} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g) \lim_{t \rightarrow \infty }\int_{1}^t \frac{1}{t^\alpha} dt \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\alpha \in (0|\infty)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu $\begin{eqnarray*} a) \int_0^1 (x-e^x) dx = [\frac 12 x^2 -e^x]_0^1= \frac 12 \end{eqnarray*}$

Zu $\begin{eqnarray*} b) \int_1^2 \sqrt{x} dx = \int_1^2 x^{\frac 12} dx = [ \frac 23 x^{\frac 32}]_1^2 = \frac{4 \sqrt{2}-2}{3} \end{eqnarray*}$ (mittels Potenzregeln)

Zu $\begin{eqnarray*} c) \int_0^\pi 4 \cos(3x) dx = [\frac 43 \sin(3x)]_0^\pi = 0 \end{eqnarray*}$

Zu $\begin{eqnarray*} d) \int_2^3 \frac{1}{x^2} dx = [-\frac 1x]_2^3 = -\frac 12 + \frac 13 = -\frac 16 \end{eqnarray*}$

Zu $\begin{eqnarray*} g) \lim_{t \rightarrow \infty } \int_{1}^t \frac{1}{t^\alpha} dt = \lim_{t \rightarrow \infty } [\frac{1}{-\alpha +1} t^{-\alpha +1}]_1^t = \lim_{t \rightarrow \infty } \frac{1}{-\alpha +1} t^{-\alpha +1}-1 = -1 \end{eqnarray*}$

Zu e) und f) habe ich Vermutungen. Substitution wäre eine Möglichkeit, oder Partielle Integration? Aber was soll ich substituieren? Ist der Rest Formel richtig und korrekt?

Ich bedanke mich recht herzlich im voraus,

Claudia

04.06.2015, 21:10

mYthos

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Kontolliere nochmals a), die e-Potenz fällt nicht weg, und bei d) ist ein Vorzeichenfehler.
Bei g) steht -1 nicht alleine, sondern hat denselben Nenner .... EDIT: Das Resultat musst du daher anpassen!
----------
e) Setze $\begin{eqnarray*} 9 - t^2 = u \end{eqnarray*}$
f) Grundintegral --> arctan

mY+

05.06.2015, 08:28

klarsoweit

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RE: Integrale berechnen

Zitat:

Original von Cl3audia
$\begin{eqnarray*} f) \lim_{t \rightarrow \infty }\int_{0}^t \frac{1}{1+t^2} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g) \lim_{t \rightarrow \infty }\int_{1}^t \frac{1}{t^\alpha} dt \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (\alpha \in (0|\infty)) \end{eqnarray*}$

Formal erscheinen mir Integrale bedenklich, die sowohl t als Integrationsvariable als auch als obere Grenze haben.

05.06.2015, 08:43

Cl3audia

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RE: Integrale berechnen
$\begin{eqnarray*} a) =-\frac 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) =\frac 16 \end{eqnarray*}$

Zu $\begin{eqnarray*} g) \lim_{t \rightarrow \infty } \frac{1}{-\alpha +1} t^{-\alpha +1}- \frac{1}{-\alpha +1} = \frac{1}{\alpha -1} \end{eqnarray*}$

Der erste Term geht ja gegen Null dann konvergiert es gegen den Rest?

Bei der e) soll ich $\begin{eqnarray*} u = 9-t^2 \end{eqnarray*}$ substituieren?

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dt} = -2t \Leftrightarrow -\frac{du}{2t} = dt \end{eqnarray*}$

Integrationsgrenzen anpassen: $\begin{eqnarray*} u(t) = 9 - t^2 \end{eqnarray*}$ dann bekomme ich ja zweimal 8 heraus? verwirrt

Somit bekomme ich eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{u(-1)}^{u(1)} t \sqrt{u} \cdot (-\frac{du}{2t}) = \int_{u(-1)}^{u(1)} -\frac{\sqrt{u}}{2} du = [\frac 13 u^{\frac 32}]_{u(-1)}^{u(1)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich zwei gleiche Integrationsgrenzen habe dann ist das Integral doch Null?

$\begin{eqnarray*} f) \int \frac{1}{1+t^2} = \arctan(x) + c \end{eqnarray*}$

So ist das doch gemeint.

@ Klarsoweit

Zitat:

Original von klarsoweit
Formal erscheinen mir Integrale bedenklich, die sowohl t als Integrationsvariable als auch als obere Grenze haben.

Also es müsste heißen:
$\begin{eqnarray*} f) \lim_{x \rightarrow \infty }\int_{0}^x \frac{1}{1+t^2} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g) \lim_{x \rightarrow \infty }\int_{1}^x \frac{1}{t^\alpha} dt \end{eqnarray*}$

Da stimme ich zu.

Claudia

05.06.2015, 09:23

klarsoweit

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RE: Integrale berechnen

Zitat:

Original von Cl3audia
$\begin{eqnarray*} a) =-\frac 12 \end{eqnarray*}$

Du hast den Hinweis von mYthos nicht beachtet.

Zitat:

Original von Cl3audia
$\begin{eqnarray*} d) =\frac 16 \end{eqnarray*}$

Das stimmt jetzt.

Zitat:

Original von Cl3audia
Zu $\begin{eqnarray*} g) \lim_{t \rightarrow \infty } \frac{1}{-\alpha +1} t^{-\alpha +1}- \frac{1}{-\alpha +1} = \frac{1}{\alpha -1} \end{eqnarray*}$

Der erste Term geht ja gegen Null dann konvergiert es gegen den Rest?

Dann schau dir das mal für alpha = 1/2 an. smile

Zitat:

Original von Cl3audia
Bei der e) soll ich $\begin{eqnarray*} u = 9-t^2 \end{eqnarray*}$ substituieren?

Entgegen der Meinung von mYthos ist das unnötig, da es sich bei dem Integranden um eine ungerade Funktion handelt, die über ein Intervall [-a; a] integriert wird. Da kommt dann immer Null raus. Augenzwinkern

05.06.2015, 16:48

Cl3audia

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RE: Integrale berechnen
Korrektur:
Zu $\begin{eqnarray*} a) \int_0^1 (x-e^x) dx = [\frac 12 x^2 -e^x]_0^1= \frac 12 -e +1 = \frac 32-e \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
Dann schau dir das mal für alpha = 1/2 an. smile

Laut Aufgabenstellung ist aber $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0|\infty) \end{eqnarray*}$

Man kann ja zur besseren Sicht $\begin{eqnarray*} t^{-\alpha+1} = t^{-\alpha} \cdot t^1 \end{eqnarray*}$

Dann wandert $\begin{eqnarray*} t^{-\alpha} \end{eqnarray*}$ in den Nenner, also es geht gegen unendlich, nur die Frage minus oder plus? Die Frage ist ja im Nenner ist ja dann

$\begin{eqnarray*} (-\alpha+1)\cdot t^\alpha \end{eqnarray*}$

Dann sieht man aber das der Term mit $\begin{eqnarray*} (-\alpha t^\alpha \end{eqnarray*}$ überwiegt also geht es gegen minus unendlich, oder? Weil ja unendlich große Zahl geteilt durch eine negative ja negativ ist?

Ja eine gerade Funktion ist ja achsensymetrisch. Aber wir haben doch $\begin{eqnarray*} t \cdot \sqrt{9-t^2} \end{eqnarray*}$ ? Also, dass die Multiplikation zweier geraden Funktionen wieder gerade ist, weiß ich. t ist gerade aber die Wurzel? Da komme ich GERADE haha nicht ganz mit Big Laugh

Die $\begin{eqnarray*} f) \end{eqnarray*}$ ist noch fällig.

Also: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty}\int_0^{x} \frac{1}{1+t^2} dt = \lim_{x \rightarrow \infty} \arctan(t) |_{0}^x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Claudia

07.06.2015, 11:44

klarsoweit

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RE: Integrale berechnen

Zitat:

Original von Cl3audia
Dann wandert $\begin{eqnarray*} t^{-\alpha} \end{eqnarray*}$ in den Nenner, also es geht gegen unendlich,

Gleichzeitig hast du aber im Zähler ein t, das gegen unendlich geht. Somit stellt sich die Frage, für welches alpha hast du welches Konvergenzverhalten?

Ich weiß wohl, daß $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ ist. Mir ging es nur darum, daß du dir das mal für ein spezielles alpha (also alpha = 1/2) anschaust, um eine Idee zu bekommen, wo das Problem ist. Außerdem mußt du den Fall alpha = 1 separat betrachten, da in diesem Fall deine Stammfunktion nicht stimmt. smile

Zitat:

Original von Cl3audia
Ja eine gerade Funktion ist ja achsensymetrisch. Aber wir haben doch $\begin{eqnarray*} t \cdot \sqrt{9-t^2} \end{eqnarray*}$ ?

Deswegen sagte ich ja auch, daß es sich um eine ungerade Funktion handelt. smile

07.06.2015, 13:31

mYthos

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Zitat:

Original von klarsoweit...

Zitat:

Original von Cl3audia
Bei der e) soll ich $\begin{eqnarray*} u = 9-t^2 \end{eqnarray*}$ substituieren?

Dennoch ist die Substitution als solche einmal nicht uninteressant und sollte geübt werden. Sie geht ja hier auch recht flott.
Schließlich muss die Funktion ja nicht immer symmetrisch sein.

mY+

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