Min/Max mehrdimensional

04.06.2015, 20:34

akamanston

Min/Max mehrdimensional

hallo

ich soll entscheiden, ob ein max oder minimum vorliegt

Satz vom maximum/minimum hab ich zumindest vor mir: (schlampig kopiert)

Sei K Teilmenge von Rn kompakt und f : Rn aus K -> R stetig. Dann nimmt f auf K sein Maximum und sein Minimum an, d.h. es existieren Punkte amax; amin element von K mit

f(amax) = sup(f(K)) = max(f(K))
f(amin) = inf(f(K)) = min(f(K));

insbesondere f(amin) =< f(x) =< f(amax) für alle x element von K.

a) $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=xy(1-x^2-y^2-z^2) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U_{1}(0)\subset R^{3} \end{eqnarray*}$ (U =offene Kugel)

und

b) f(x,y) = $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{2+x}{1-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U_{1}(0)\subset R^{2} \end{eqnarray*}$

zu a) mein tipp ist, dass die funktion unstetig ist, weil die Kugel offen ist?!?

05.06.2015, 10:30

Iorek

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RE: min max mehrdimensional

Zitat:

Original von akamanston
mein tipp ist, dass die funktion unstetig ist, weil die Kugel offen ist?!?

Was hat denn das eine mit dem anderen zu tun? geschockt

06.06.2015, 18:20

akamanston

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RE: min max mehrdimensional
hi, jetzt wirds ziemlich traurig. ich habe die lösund aber verstehe sie nicht.

auf der kompakten menge B1(0) nimmt die stetige Funktion f mini und max an. auf dem rand ist f=0, in U1(0) kann f negativ und positiv sein. also muss f min und max in der offenen kugel u1(0) annehmen.

wieso wird über B1(0) argumentiert?

die lösung zu b habe ich auch, aber vlt kann mir jemand erstmal a erklären.

06.06.2015, 23:33

Iorek

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Dazu solltest du vielleicht auch die Originalaufgabenstellung angeben, bisher stehen da nur Funktionen und dass es irgendwas mit Maxima/Minima zu tun hat. Aufgrund der Musterlösung würde ich mal als Aufgabenstellung vermuten:

Besitzt die Funktion $\begin{eqnarray*} f:U_1(0)\rightarrow\mathbb R,~f(x,y,z)=xy(1-x^2-y^2-z^2) \end{eqnarray*}$ ein Minimum/Maximum?

Kommt das hin oder soll etwas anderes gemacht werden?

06.06.2015, 23:35

akamanston

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stimmt, sorry hab ich vergessen

entscheide ob ein min oder max vorliergt auf der angegebenen menge bisitzen

07.06.2015, 09:49

Iorek

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Das dürfte wohl nicht die Originalaufgabenstellung sein...aber gut, meine Rekonstruktion kommt dem ja schon recht nahe.

Und man argumentiert hier über $\begin{eqnarray*} B_1(0) \end{eqnarray*}$ , um den Satz von Minimum/Maximum überhaupt anwenden zu können. Auf der offenen Menge $\begin{eqnarray*} U_1(0) \end{eqnarray*}$ ist das nicht möglich, da die Voraussetzungen nicht erfüllt sind, also muss man sich Gedanken machen wie man trotzdem zu einer Aussage kommt.

07.06.2015, 20:33

akamanston

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Zitat:

Original von Iorek
Und man argumentiert hier über $\begin{eqnarray*} B_1(0) \end{eqnarray*}$ , um den Satz von Minimum/Maximum überhaupt anwenden zu können.

ich habe hier zwei definitionen aus dem skript. ich weiß gar nicht wieso es da zwei definitionen gibt.
und vor allem was hat das mit B1(0) zu tun?

wir müssen das irgendwie anders aufziehen, damit ich eine chance habe das nachzuvollziehen

[attach]38335[/attach]
[attach]38336[/attach]

07.06.2015, 20:55

Iorek

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Dann sieh dir einmal genau die Aussage an (es handelt sich hierbei übrigens nicht um Definitionen, schließlich wird nichts definiert). Einmal wird der eindimensionale Fall und einmal der mehrdimensionale Fall behandelt...

Und ich habe mich an deiner Notation orientiert, so wie ich das aus deinem Post entnommen habe bezeichnet ihr mit $\begin{eqnarray*} U_1(0) \end{eqnarray*}$ die offene Kugel/Ball/Umgebung mit Radius eins um den Nullpunkt und mit $\begin{eqnarray*} B_1(0) \end{eqnarray*}$ die abgeschlossene Kugel/Ball/Umgebung. Und für die Anwendung des Satzes reicht eine offene Menge eben nicht aus, weshalb man nicht über $\begin{eqnarray*} U_1(0) \end{eqnarray*}$ argumentieren kann.

07.06.2015, 22:01

akamanston

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ok, dann ist der unterschied schon mal klar=)

wie kann ich mir überhaupt die funktion f(x,y,z) auf U1(0) vorstellen?

die funktion, erstmal egal wie sieh aussieht, befindet sich innerhalb einer offenen kugel mit r=1 um den nullpunkt herum?
das kann ich mir bildlich sogar vorstellen. auch wenn keine ahnung hab wie die funktion aussieht.

nachdem ich den SATZ mal durchgelesen habe, müssten wir doch erstmal abchecken ob f überhaupt stetig ist, oder? das ist ja immerhin die voraussetzung(?!) ich bräuchte erstmal einen eigen thread um die stetigkeit der funkion zu klären Big Laugh

07.06.2015, 23:20

Iorek

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Die Funktion kann man sich nicht mehr vorstellen, dafür bräuchtest du ein Koordinatensystem mit 4 Dimensionen. Eine Vorstellung der (offenen) Kugel ist natürlich möglich, hilft für die Funktion aber nur bedingt weiter.

Und die Stetigkeit dieser Funktion zu begründen sollte dir eigentlich keine Probleme bereiten, so etwas lernt man in der Regel schon im ersten Semester; das wird hier nur auf mehrere Variablen verallgemeinert und sollte sich direkt mit einer Aussage aus deinem Skript erledigen lassen.

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