Min/Max einer abschnittweise definierte Funktionen

04.06.2015, 22:09	Heidi003	Auf diesen Beitrag antworten »
Min/Max einer abschnittweise definierte Funktionen Hallo Leute, Ich bin grad an der Aufgabe dran, komme nicht weiter und hoffe hier auf Hilfe gegeben ist folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f: [0,2] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}x^2 -x + \frac{1}{4}& x < 1 \\ \|x-2\| & x \geq 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ und ich soll das globale Minimum und Maximum bestimmen. dazu hab ich zunächst einmal die Funktion so umgeschrieben: $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}x^2 -x + \frac{1}{4}& 0 \leq x < 1 \\ 2-x & 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2 = 2 - x \end{eqnarray}$ ist eine Gerade und hat somit ein lokales Maximum bei $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(1) = 1 \end{eqnarray}$ und ein lokales Minimum bei $\begin{eqnarray} x = 2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(2) = 0 \end{eqnarray}$ . Weil beide Teilfunktionen $\begin{eqnarray} f_1,f_2 \end{eqnarray}$ Polynome sind, weiß ich das sie differenzierbar sind auf $\begin{eqnarray} 0 < x < 1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 1 < x < 2 \end{eqnarray}$ . Also existiert folgende Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(x)=\begin{cases}2x - 1& 0 < x < 1 \\ -1 & 1 < x < 2 \end{cases} \end{eqnarray}$ nun betrachte Ich wo $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Das ist der Fall für $\begin{eqnarray} x_0 = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Also die zweite Ableitung von $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ bilden: $\begin{eqnarray} f_1''(x) = 2 > 0 \end{eqnarray}$ für jedes x aus dem Definitionsbereich und somit auch für mein $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2} \rightarrow \end{eqnarray}$ Ein lokales Minimum bei $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Also zusammenfassend was ich bisher über $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ weiß: lokales Minimum bei $\begin{eqnarray} x = 2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(2) = 0 \end{eqnarray}$ lokales Minimum bei $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(\frac{1}{2}) = 0 \end{eqnarray}$ lokales Maximum bei $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(1) = 1 \end{eqnarray}$ Den Randpunkt $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_1(0) = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ bekommen ich noch unproblematisch, aber wie muss ich $\begin{eqnarray} x < 1 \end{eqnarray}$ einbauen? Wäre das $\begin{eqnarray} x \leq 1 \end{eqnarray}$ würde noch den Randpunkt $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ bestimmen und mir anschließend die größten/kleinste Funktionsauswertungen rauspicken und hätte meine globalen Maxima/Minima. Aber wie komme Ich hier auf die globalen Minima/Maxima? Danke
05.06.2015, 10:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Min/Max einer abschnittweise definierte Funktionen Deine Aufgabe ist Schulmathematik, zu deren Lösung man keine Differenzialrechnung benötigt. Gegeben ist im Intevall [0\|1) die Parabel y=(x-0,5)² mit dem Scheitelpunkt S(0,5\|0) und im Intervall [1\|2] die Gerade y=-x+2. Für diese zusammengesetzte Funktion hat man also (1) lokales Maximum am Intervallanfang (x\|y)=(0\|0,25) (2) globales Minimum am Parabel-Scheitelpunkt (x\|y)=(0,5\|0) (3) globales Maximum an der Unstetigkeitsstelle (x\|y)=(1\|2) (Die Gerade wird hier maximal, nicht die Parabel!) (4) globales Minimum am Intervallende (x\|y)=(2\|0)
05.06.2015, 11:10	Heidi003	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay das scheint soweit einleuchtend, generell noch eine Frage zu dem Vorgehen. Wenn ich so eine Art von Funktion habe: $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}f_1& x \in (a,b] \\ f_2 & x \in [c,d) \end{cases} \end{eqnarray}$ und die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ wäre an den "Nahtstellen" nicht differenzierbar, aber $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x \in (a,b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x \in (c,d) \end{eqnarray}$ differenzierbar. Die lokalen Extrema in den differenzierbaren Intervall kann ich dan wie üblich rausfinden. Nur welche Randpunkte muss ich betrachten? nur $\begin{eqnarray} f(b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(c) \end{eqnarray}$ ? Und wie finde ich raus ob es sich an den Randpunkte um Minima/Maxima handelt, wenn die Funktionen nicht so einfach sind wie die aus meinem ersten Beispiel?
05.06.2015, 11:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Um herauszufinden, ob an den Randpunkten der Teilintervalle Extrema vorliegen, muss man nur prüfen, ob die Funktion an diesen Randpunkte größer/kleiner ist als in einer gewissen epsilon-Umgebung vom Randpunkt. Das findet man durch Skizzieren der Funktion mit gesunden Menschenverstand heraus. Dies hat nicht viel mit höherer Mathematik zu tun.
05.06.2015, 13:12	Heidi003	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, Müsste ich das noch begründen, warum da ein Minima/Maxima vorliegt, könnte ich das mit der Monotomie tun? Also (wieder bei meinem ersten Beispiel) wäre an x=1 ein lokales Maximum, weil $\begin{eqnarray} f_1(x)=x^2 -x + \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray} (0.5,1) \end{eqnarray}$ streng monoton steigend und $\begin{eqnarray} f(x) = 2-x \end{eqnarray}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray} (1,2) \end{eqnarray}$ streng monoton fallend ist? Danke dir soweit und tut mir leid falls ich das in das falsche Forum geposted haben sollte

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