Irreduzibel aber nicht prim in Z[Wurzel(10)]

Neue Frage »

python_15 Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibel aber nicht prim in Z[Wurzel(10)]
Meine Frage:
Hallo!

Ich bräuchte einen Tipp für folgende Aufgabe:
Zeigen Sie, dass in irreduzibel, aber nicht prim sind.

Meine Ideen:
Also ich kenne die Definitionen, weiß aber nicht recht wie ich vorgehen soll...
Sei also mit . Nun soll ich zeigen, dass entweder u oder v eine Einheit ist...
Könnte mir vielleicht irgendjemand einen Tipp geben? (:
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

für die Irreduzibilität ist es ganz gut sich eine Norm mit zu definieren.
Wenn du hast ist auch das Quadrat der Normen gleich. Wenn du dir die Struktur von ansiehst, wie müssen dann aussehen?
Du solltest außerdem noch argumentieren, warum 2 nicht invertierbar ist, denn invertierbare Elemente sind definitionsgemäß nie irreduzibel.

Für die Primeigenschaft suchst du einfach zwei Zahlen, die im Produkt 2 ergeben, aber jeweils kein Vielfaches von 2 sind.
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Danke für deine Antwort. Also:

zu irreduzibel:
Sei Dann ist (wenn N die Norm)
Also Weiters weiß ich, dass Einheiten Norm haben. Nun habe ich mir überlegt, dass folgende vier Zerlegungen hat:

Wenn ich also die ersten beiden ausschließen könnte, wüsste ich, dass u oder v eine Einheit ist.
Allerdings schaffe ich es nicht zu zeigen, dass ... Oder bin ich auf einem falschen Weg?
2 kann nicht invertierbar sein, denn Einheiten haben Norm , 2 hab aber Norm 4.
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

zu prim:
Zitat:
Original von daLoisl
Für die Primeigenschaft suchst du einfach zwei Zahlen, die im Produkt 2 ergeben, aber jeweils kein Vielfaches von 2 sind.


Hm. Würde es nicht reichen, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt durch 2 teilbar ist, die beiden Faktoren selbst jedoch nicht?
Also zB:
aber Analog für 3.
aber Analog für

Korrekt? Muss ich die Nichtteilbarkeit noch argumentieren?
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Primeigenschaft sieht sehr gut aus.
Die Nichtteilbarkeit könnte man schön zeigen indem man allgemein ansetzt:

Dies gilt genau dann, wenn und . Da a, b aber ganze Zahlen sein müssen, teilt nicht

Bei der Irreduzibilität wäre ich genau so vorgegangen wie du. Leider fällt mir auch nicht schnell ein Argument ein, warum . Tut mir Leid, falls ich da eine falsche Fährte gelegt habe. Ich hatte einmal ein ähnliches Beispiel, bei dem dieses Vorgehen extrem schnell zum Ziel führte.
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, trotzdem vielen Dank für deine Hilfe!! (:
Vielleicht hat ja sonst noch jemand eine Idee.
 
 
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich so argumentieren:
Sei
Stelle nach b um:
Also kann b nicht ganzzahlig sein, also Widerspruch.

Edit: Nein, das ist Blödsinn.
python_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls es noch jemanden interessiert, hier meine Lösung:

Zitat:
Original von python_15
Sei
Stelle nach b um:


kann tatsächlich nicht ganzzahlig sein mit folgendem Argument:
Wenn ganzzahlig wäre, dann müsste der Zähler ein Vielfaches des Nenners sein. Also müsste auch ein Vielfaches von sein (damit man herausheben kann). Also müsste die Einserstelle von gleich sein, also die Einserstelle von gleich Allerdings kann die Einserstelle einer Quadratzahl nie oder sein, also kann nicht ganzzahlig sein.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »