Taylor-Reihe

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epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Reihe
Hei Leute,

mache zurzeit nen Studienaustausch in Finnland und bin des finnisch' nicht so mächtig, als dass ich alles aus der Vorlesung verstehen würde verwirrt Big Laugh

Hier meine Aufgabe:

"Berechne die Taylor-Reihe für Sinus am Ursprung und untersuche, wann die Reihe Sinus repräsentiert."

Nun habe ich mich schon ein bissl mit dem Taylor-Polynom etc auseinandergesetzt. Ich weiß (bzw. so hab ich es verstanden..^^), dass mein , da wir den Sinus (engl. sine?) ja am Ursprung untersuchen sollen. Aber wie bestimme ich nun mein n?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wie man leicht nachrechnet ist



mit

man sollte jetzt zeigen, dass die Reihe in ganz für konvergent ist, d.h. das Restglied wird Null.
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Hei! Vielen Dank für deine Antwort!

Habe vorher nicht an die vereinfachte Schreibweise von Sinus gedacht, aber leuchtet ein (bzw. muss mir nochmal anschauen wie genau man darauf kam.. geschockt Big Laugh ).

Dann nur noch die Frage, wie ich am einfachsten und schönsten beweise, dass für konvergiert bzw zu 0 wird.. Da der Sinus ja immer zwischen -1 und 1 liegt, muss ich ja im Grunde zeigen, dass bzw. , oder? verwirrt Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zeigen

Eigentlich ist das klar, man muss nämlich nur wählen .
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Ach mist, wollte den Grenzwert eigentlich noch nach der Ungleichung anfuegen, weil ich das genauso meinte (,dass der Nenner viel grösser als der Zähler ist, sodass der Bruch gegen 0 läuft.. Forum Kloppe Big Laugh )..

Allerdings frage ich mich nun noch, wie ich das ganze so formuliere, dass es als Beweis zu verstehen ist. Also mir ist es schon klar, aber denke nicht dass "ist klar" als Antwort genuegt (soll mir natuerlich keiner die Antwort direkt vorsagen Hammer )
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt doch die Ungleichung
.

Edit: Es muss dabei x > 0 gelten.
 
 
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso!^^ wie gesagt: bin hier in Finnland und der Sprache nicht so mächtig wie ich es sein muesste um alles aus der Vorlesung verstehen zu können.. wusste nicht, dass dies eine allgemeingueltige Regel ist Hammer
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, was das mit finnisch zu tun haben soll. Aber es ist doch hoffentlich klar, dass


Vergaß noch zu erwähnen, dass dabei x > 0 gelten muss.
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Haha naja das hat wirklich nicht viel damit zu tun.. Mir war nur nicht klar, dass , also dass schneller gegen läuft als .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht ja eben nicht darum, das zu wissen, sondern zu zeigen. Ich hoffe das gelingt dir jetzt nach meiner Vorarbeit.

Es kann übrigens auch x < 0 sein, das musst du berücksichtigen.
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Eigentlich ist das klar, man muss nämlich nur wählen nx>x.


Hei hab noch bissl überlegt, aber wieso ist es denn eigentlich klar? Also falls x<n, dann ist natürlich , aber wieso folgt daraus . Ich kann mir vorstellen dass es ein gibt, sodass die Differenz zwischen x und n so groß ist, dass der Grenzwert im unendlichen bei 0 liegt, aber wie zeige ich das? bzw wie bekomme ich das raus verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Sei wie gesagt . Da gilt doch die Abschätzung

und der nur von abhängigen Konstante
Jetzt bilde den Limes.
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das war mir alles nicht klar.. also das mit dem Limes anwenden ist ja kein Problem mit der Nullfolge auf eine Konstante, sodass dies irgendwann zu 0 wird. Aber wie ich auf die Konstante komme, bzw was du unten gemacht hast, ist mir nicht ganz klar. Also mit 1 - Bruch - multipliziert, aber dann? Wieso gilt das mit dem ? Gibt es dafür einen bestimmten Satz oder eine Regel?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von epsilonBaumi
Also mit 1 - Bruch - multipliziert, aber dann? Wieso gilt das mit dem ? Gibt es dafür einen bestimmten Satz oder eine Regel?

verwirrt Satz, Regel? Das ist einfache Bruchrechnung. Vielleicht bemühst du dich erst mal den Weg zu durchdenken.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir auch noch die Antwort überlegen auf den Einwand, es könne doch auch x<0 sein.
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Mir war vorher dieser Schritt nicht klar: , bzw ist immer noch nicht ganz klar.. also wir haben ja gesagt, dass , aber sonst?

und zu x<0:
Ich dachte der Grenzwert geht gegen 0, solange .
Andernfalls geht er gegen bzw.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch , da auf der linken Seite der Ungleichung Faktoren größer als stehen. Das umgeschrieben ist (wie gesagt, nur Bruchrechnung!)



Damit folgt dann


Zitat:
Original von epsilonBaumi
und zu x<0:
Ich dachte der Grenzwert geht gegen 0, solange .
Andernfalls geht er gegen bzw.


verwirrt Der kann nie gegen Unendlich gehen, da bei der Limesbildung für jedes x ab einem alle werden.
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok!
Jaa stimmt! Bin bissl durchn Wind grade Hammer und müsste das alles für ne Prüfung morgen verstehen..^^
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von epsilonBaumi
und müsste das alles für ne Prüfung morgen verstehen.


Auf Finnisch?? Na denn, viel Glück!! Zu deinem Glück ist die Mathematik in Finnland meines Wissens dieselbe wie hier. Big Laugh
epsilonBaumi Auf diesen Beitrag antworten »

Haha ne antworten darf ich zum Glück auf englisch Big Laugh ändert nur nichts an der Mathematik... LOL Hammer
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