n-te Wurzel bei Ungleichungen

05.06.2015, 11:24

Stellarator

n-te Wurzel bei Ungleichungen

Hallo,
gegeben ist mir folgende Ungleichung mit Aufgabenstellung:

Für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt die Ungleichung ?

$\begin{eqnarray*} (a)\;\;\;|\frac{1}{n^{3}}|<10^{-6} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung dazu:

$\begin{eqnarray*} 1.Fall: n^{-3} > 0 \end{eqnarray*}$

Ergebnis: 100<n

$\begin{eqnarray*} 2.Fall: n^{-3} < 0 \end{eqnarray*}$

Ergebnis: -100 > n

Hier im 2en Fall stellt sich mir die Frage ab wann (bei der Umformung) sich mein kleiner/größer Zeichen wegen dem Minus umdreht.

Sobald sich ich für den Betrag $\begin{eqnarray*} -n^{-3} \end{eqnarray*}$ einsetze oder erst wenn ich die 3-te Wurzel ziehe ?

PS: Bin neu hier Wink

, und mit Tex noch nicht so vertraut. Deshalb entschuldigt mein Layout unglücklich

Habs noch nicht auf die Reihe bekommen Latex zu zentrieren und Leerzeichen zu machen verwirrt

lG Stellarator

05.06.2015, 11:32

Captain Kirk

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Hallo,

mir kommt die Aufgabenstellung etwas seltsam vor.
Wozu der Betrag, wenn die n doch natürliche Zahlen sein sollen?

P.S. Fließtext kommt nicht in die TeX-Formeln

05.06.2015, 11:45

Stellarator

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ahhh oh man bin ich blöd ^^
das war warscheinlich der Trick, das man den Betrag einfach weglassen kann.

aber mal angenommen wir hätten n Element reellen Zahlen als Aufgabenstellung, wie siehts dann aus ?

danke für die schnelle Antwort smile

05.06.2015, 11:49

Captain Kirk

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Dann bräuchtest du die Fallunterscheidung.
Und das Einsetzen von Werten ändert keine Gleichung/Ungleichung.

05.06.2015, 11:59

mrdo87

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deine Frage bezieht sich ja hauptsächlich auf das Vorzeichen und das größer/-kleiner- Zeichen. Tipp: nimm ein einfaches Beispiel, um es dir anschaulich zu machen.

z.B. anstatt $\begin{eqnarray*} |\frac 1 {n^3}| \end{eqnarray*}$ einfach irgendwas negatives, z.B. -3:

$\begin{eqnarray*} |-3|<5 \end{eqnarray*}$

"Betragszeichen weglassen":

$\begin{eqnarray*} -3>-5 \end{eqnarray*}$

05.06.2015, 12:05

Captain Kirk

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@mrdo87:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |-3|<5 \end{eqnarray*}$

"Betragszeichen weglassen":

$\begin{eqnarray*} -3>-5 \end{eqnarray*}$

Das hat nichts mit "Betragszeichen weglassen" zu tun.
Du multiplizierst die Ungleichung mit -1.

05.06.2015, 12:05

Stellarator

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Fallunterscheidung hab ich ja gemacht. Im 2en Fall ändert sich ja das ungleichheitszeichen, und die Ergebnisse dürfte soweit stimmen. Wenn du sagst das das Einsetzen einer negativen Zahl die Ungleichung nicht ändert müsste es sich also so verhalten das die 3e Wurzel mir mein kleiner/größer zeichen umdreht.
stimmt das dann so ?:

2 Fall:

$\begin{eqnarray*} -n^{-3} < 10^{-6} \\<br /> -\frac{1}{10^{-6}} < n^{3} \\<br /> \sqrt[3]{-10^{6} } > n \\<br /> (-10^{6})^{1/3}>n \\<br /> -100>n \end{eqnarray*}$

05.06.2015, 12:11

Captain Kirk

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Du multiplizierst für die zweite Zeile mit der negativen Zahl n³.
Daher muss in der zweiten Zeile ein > stehen und nicht erst eine Zeile später.

Zitat:

müsste es sich also so verhalten das die 3e Wurzel mir mein kleiner/größer zeichen umdreht.

Der Schluß ist falsch, und ich sehe auch nicht wie du das folgern willst.

Multiplizieren mit negativen Zahlen dreht Ungleichungszahlen um.

05.06.2015, 12:36

Stellarator

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okay, also das mit der wurzel is nonsense.

ich verstehe aber nicht, dass wenn ich die 2e zeile mit einem positiven term, hier n^3 multilipliziere sich mein relationszeichen umdreht.

n^3 ist ja ein positiver term und z.B. -n^3 ist ein negativer Term, oder liege ich da etwa falsch ?

05.06.2015, 12:40

Captain Kirk

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Zitat:

oder liege ich da etwa falsch ?

Das tust du.
Du bist hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2.Fall: n^{-3} < 0 \end{eqnarray*}$

n³ ist negativ, wie ich bereits im letzten Post schrieb.
Wäre n³ positiv, so wäre -n³ negativ also $\begin{eqnarray*} |n^3| \neq -n^3 \end{eqnarray*}$

05.06.2015, 12:52

HAL 9000

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@Stellarator

Tipp: Solange es irgend geht, im positiven bleiben. Wie du selbst gesehen hast, kommt man bei diesen Ungleichungsumformungen rasch ins Schleudern, wenn man im negativen ist und da nicht so sattelfest ist ... Also: Im vorliegenden Fall etwa (gesetzt den Fall, wir würden auch negative n in Betracht ziehen) würde man als erstes $\begin{align*} \left| \frac{1}{n^3} \right| = \frac{1}{|n|^3} \end{align*}$ nutzen, dann kann man schön "im positiven" umformen

$\begin{align*} \frac{1}{|n|^3} < 10^{-6} \end{align*}$

$\begin{align*} |n|^3 > 10^6 \end{align*}$

$\begin{align*} |n| > 10^2 \end{align*}$

Und erst jetzt den Betrag auflösen, mit dem bekannten Ergebnis $\begin{align*} n>100 \end{align*}$ oder $\begin{align*} n<-100 \end{align*}$ .

05.06.2015, 12:57

Stellarator

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Vielen dank euch beiden,
jetzt habe ich es verstanden.
Frage ist beantwortet smile

Hatte schon immer Probleme bei Fallunterscheidungen.
Werde es ab jetzt so machen wie HAL 9000 es vorschlägt

lG

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