Extremstellen mit Nebenbedingung

05.06.2015, 12:01

Lagragi

Extremstellen mit Nebenbedingung

Hallo,

ich soll die Extremstellen der Funktion f unter einer Nebenbedingung berechnen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ .
Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} (x-1/2)^2 + y^2 - 1/16 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mit der Methode von Lagrange vorgegangen und habe berechnet sowie nullgesetzt:

1.) Ableitung nach x: $\begin{eqnarray*} f_x = - \frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}} + 2 \lambda (x-1/2) = 0 \end{eqnarray*}$

2.) Ableitung nach y: $\begin{eqnarray*} f_y = - \frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} + 2 \lambda y = 0 \end{eqnarray*}$

3.) Ableitung nach \lambda $\begin{eqnarray*} f_{\lambda} = (x-1/2)^2 + y^2 - 1/16 \end{eqnarray*}$ .

Und nun?

Ich habe mal die 3. Gleichung nach y aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{-x^2+x- 3/16} \end{eqnarray*}$ .

Das in die 2. Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 2 \lambda \sqrt{-x^2+x- 3/16} = \frac{\sqrt{-x^2+x- 3/16}}{\sqrt{19/16 - x}} \end{eqnarray*}$ .
Setze ich dort $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$ erhalte ich zwei Nullstellen für $\begin{eqnarray*} x_1 = 1/4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = 3/4 \end{eqnarray*}$ .

Das in die 1. Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 6/\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = -2/\sqrt{15} \end{eqnarray*}$

... ?

05.06.2015, 12:37

klarsoweit

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RE: Extremstellen mit Nebenbedingung
Ich würde mit der 2. Ableitung anfangen. Aus $\begin{eqnarray*} - \frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} + 2 \lambda y = 0 \end{eqnarray*}$ folgt y=0 oder $\begin{eqnarray*} 2 \lambda = \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{eqnarray*}$ .

Das kann man dann in die 1. Gleichung einsetzen.

05.06.2015, 14:36

Lagragi

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Hallo klarsoweit und vielen dank,

Im Fall y=0 erhalte ich, eingesetzt in 1. Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{x}{(2x-1)\cdot \sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} 2\lambda = \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{eqnarray*}$ erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{eqnarray*}$ .

Für letzteres gibt es keine Lösung?

Für ersteres komme ich dann wieder durch weiteres Einsetzen in Gleichung 3 auf meine zwei Lösungen.

Was sagen mir dann aber diese Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

05.06.2015, 15:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lagragi
Im Fall y=0 erhalte ich, eingesetzt in 1. Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{x}{(2x-1)\cdot \sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$ .

Nun ja, ich würde eher mit y=0 in die 3. Gleichung gehen.

Zitat:

Original von Lagragi
Im Fall $\begin{eqnarray*} 2\lambda = \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{eqnarray*}$ erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{-1}{2\sqrt{1-x^2-y^2}} \end{eqnarray*}$ .

Für letzteres gibt es keine Lösung?

Richtig.

05.06.2015, 16:04

Lagragi

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Okay, und inwiefern erhalte ich dadurch die gesuchten Extremstellen?

Sind es die Stellen $\begin{eqnarray*} (1/4, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3/4, 0) \end{eqnarray*}$ ?

05.06.2015, 16:36

wopi

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Es handelt sich hier um die obere Hälfte der Einheitskugel mit Mittelpunkt im Ursprung.

Der Hochpunkt wäre also im Punkt P(0/0/1) über der Extremstelle (0/0)

Randminimumstellen sind alle Punkte des Schnittkreisreises mit der xy-Ebene.

Edit. Habe die Nebenbedingung übersehen!

Diese stellt einen Kreis in der xy-Ebene dar [ M(0.5/0/0) r= 1/4] , den du mit dem o.g. Kreis schneiden musst.

07.06.2015, 11:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lagragi
Sind es die Stellen $\begin{eqnarray*} (1/4, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3/4, 0) \end{eqnarray*}$ ?

Ja. Allerdings mußt du noch die jeweiligen lambda-Werte ausrechnen. Außerdem brauchst du noch die Definitheit der Hesse-Matrix.

09.06.2015, 13:41

Lagragi

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Wofür brauche ich denn die Lambda-Werte bzw. die Definitheit der Matrix?
Letzteres sicher, um zu prüfen ob tatsächlich ein Extremwert vorliegt?

09.06.2015, 14:26

klarsoweit

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Genau genommen müßtest du die geränderte Hesse-Matrix betrachten. Dazu brauchst du auch den jeweiligen lambda-Wert.
Siehe auch hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix

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