Wenn {e1,e2} eine Basis für R^2 dann ist auch {e1+e2,e2} eine Basis für R^2

05.06.2015, 13:20

FranzOS42

Wenn {e1,e2} eine Basis für R^2 dann ist auch {e1+e2,e2} eine Basis für R^2

Meine Frage:
Hallo, ich habe mir eine Basis vorgegeben $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \text{ Basis für } \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , jetzt hab ich mir die Frage gestellt ist dann auch $\begin{eqnarray*} \{e_1+e_2,e_2\} \end{eqnarray*}$ eine Basis für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein ansatz war da es ja weiterhin nur zwei Vektoren sind ich Zeige, dass die neue Basis auch Linearunabhängig ist. Vorgegben habe ich mir $\begin{eqnarray*} e_1=(a,b) \wedge e_2=(c,d)\Rightarrow e_1+e_2=(a+c,b+d) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot e_1 + \alpha\cdot e_2 + \beta\cdot e_2 &= \vec{0}\\ \alpha\cdot(a+c,b+d) + \beta\cdot (c,d) &= \vec{0}\\ \alpha\cdot a + \alpha\cdot c + \beta\cdot c = 0 \\ \alpha\cdot b + \alpha\cdot d + \beta\cdot d = 0 \end{eqnarray*}$

Ab hier fehlt mir leider jeder Ansatz... Ich habe folgendes versucht:
$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot a + \beta\cdot c = -\alpha\cdot c \\ \alpha\cdot b + \beta\cdot d = -\alpha\cdot d \end{eqnarray*}$
Und wollte mir jetzt helfen in dem ich sage $\begin{eqnarray*} \alpha \wedge\beta = 0 \end{eqnarray*}$ da die beiden ja wie vorgegeben eine Basis bilden. Kann mir jemand bitte weiterhelfen wie ich hier vorgehen müsste ?

05.06.2015, 13:24

klarsoweit

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RE: Wenn {e1,e2} eine Basis für R^2 dann ist auch {e1+e2,e2} eine Basis für R^2
Du machst es komplizierter, als es ist. Du mußt nur zeigen, daß die alte Basis mit den Vektoren der neuen Basis darstellbar ist.

05.06.2015, 13:30

galo15

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RE: Wenn {e1,e2} eine Basis für R^2 dann ist auch {e1+e2,e2} eine Basis für R^2

Zitat:

[i]Original von FranzOS42[i]
$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot e_1 + \alpha\cdot e_2 + \beta\cdot e_2 &= \vec{0}\\ \end{eqnarray*}$

Die lineare Unabhängigkeit kannst du zeigen, indem du in dieser Geichung $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ heraushebst und die lineare Unabhängigkeit der aöten Basis verwendest.

05.06.2015, 13:51

FranzOS42

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@galo15

Also quasi

$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot e_1 + \alpha\cdot e_2 + \beta\cdot e_2 &= \vec{0} \\ \alpha\cdot e_1 + e_2\cdot\overbrace{(\alpha+\beta)}^{\gamma}&=\vec{0}\\ \alpha\cdot e_1 + \gamma\cdot e_2 &= \vec{0} \\ \end{eqnarray*}$
Und da $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ Basis ist gilt dies automatisch.

@klarsoweit
Also wenn gilt
$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot(e_1+e_2) + \beta\cdot e_2 &= e_1 \\ \alpha\cdot(e_1+e_2) + \beta\cdot e_2 &= e_2 \end{eqnarray*}$
warum kann ich dann sagen, dass es sich auch hier um eine Basis handelt ?

Noch eine Frage am Rande:

Gilt dies für jeden beliebigen Vektorraum über einen Körper oder nur bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und ist das Skalierbar auf $\begin{eqnarray*} \{\sum_{i=1}^{n} e_i,\sum_{i=2}^{n} e_i,\dots,e_n\} \end{eqnarray*}$

05.06.2015, 14:02

python_15

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Zitat:

Original von FranzOS42
@galo15

Also quasi

$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot e_1 + \alpha\cdot e_2 + \beta\cdot e_2 &= \vec{0} \\ \alpha\cdot e_1 + e_2\cdot\overbrace{(\alpha+\beta)}^{\gamma}&=\vec{0}\\ \alpha\cdot e_1 + \gamma\cdot e_2 &= \vec{0} \\ \end{eqnarray*}$
Und da $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ Basis ist gilt dies automatisch.

Naja erstmal weißt du nur, dass $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt aber direkt, dass $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = 0 \end{eqnarray*}$ und somit sind $\begin{eqnarray*} e_1 + e_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Natürlich solltest du noch kurz argumentieren, warum aus der linearen Unabhängigkeit schon folgt, dass es eine Basis ist.

05.06.2015, 14:12

FranzOS42

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Ja das folgt ja daraus, dass ich die Dimension 2 hab und zwei Vektoren in der Basis wenn die dann Linearunabhängig sind sind sie aucht automatisch ein Erzeugendessystem.

Vielen Dank für euere Hilfe Augenzwinkern

05.06.2015, 14:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von FranzOS42
@klarsoweit
Also wenn gilt
$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot(e_1+e_2) + \beta\cdot e_2 &= e_1 \\ \alpha\cdot(e_1+e_2) + \beta\cdot e_2 &= e_2 \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von FranzOS42
warum kann ich dann sagen, dass es sich auch hier um eine Basis handelt ?

Weil dann jeder Vektor, der sich über e_1 und e_2 darstellen läßt, auch mit (e_1 + e_2) und e_2 darstellbar ist.

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