Entladen eins Kondensators

05.06.2015, 14:17

Chloe2015

Entladen eins Kondensators

Problem:
Bis zum Zeitpunkt 0 s ist an einen Kondensator mit der Kapazität C über einen Ohmschen Widerstand R eine Gleichspannung der Stärke U0 angelegt. Nun wird der Schalter geschlossen und der Kondensator entlädt sich über den Widerstand R (siehe Zeichnung). Mit uR bezeichnen wir die Funktion, die jedem Zeitpunkt t die Spannung uR(t) am Kondensator zur Zeit t zuordnet. Hinweis: I = C * uC'

a.)Beschreibe die Funktion uC, die jedem Zeitpunkt t die Spannung uC(t) am Kondensator zur Zeit t zuordnet, als Lösung einer Anfangswertaufgabe.

b.)Löse die Anfangswertaufgabe

c.)Zeichne die Funktion des Graphen uC(t) für uC = 100V, R=1kOhm, C=10µF

Idee:
Bin mir nicht sicher ob ichs richtig verstanden habe.
a.)
$\begin{eqnarray*} \tau = R \cdot C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_R+U_C = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R \cdot I+U_C = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R \cdot C \cdot U_C'+U_C = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tau \cdot \frac{dU_C}{dt}+U_C = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{U_C} dU_C = -\frac{1}{\tau} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{U_C} dU_C = \int -\frac{1}{\tau} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(U_C) = -\frac{1}{\tau} \cdot t +K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_C(t) = e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \cdot K \end{eqnarray*}$

b.)
$\begin{eqnarray*} U_C(t=0) = U_0 = 100V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 100V = K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_C(t) = e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \cdot 100V \end{eqnarray*}$

c.)

05.06.2015, 14:50

Hippocampus

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RE: Entladen eins Kondensators

Zitat:

Original von Chloe2015

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{U_C} dU_C = \int -\frac{1}{\tau} dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(U_C) = -\frac{1}{\tau} \cdot t +K \end{eqnarray*}$

Hier sollte vielleicht etwas wie $\begin{align*} U_c>0 \end{align*}$ stehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ln(U_C) = -\frac{1}{\tau} \cdot t +K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_C(t) = e^{-\frac{1}{\tau} \cdot t} \cdot K \end{eqnarray*}$

Die Konstanten unterschiedlich benennen, z.B. mit Indizes versehen.

Wink

05.06.2015, 15:30

Chloe2015

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$\begin{eqnarray*} Uc>0 \end{eqnarray*}$
Weil der logarithmus nur mit positiven Zahlen funktioniert ? Oder was bedeutet das.

Hab ich das richtig verstanden das bei t=0, uC = 100V ist ?

05.06.2015, 16:09

Hippocampus

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Zitat:

Original von Chloe2015
$\begin{eqnarray*} Uc>0 \end{eqnarray*}$
Weil der logarithmus nur mit positiven Zahlen funktioniert ? Oder was bedeutet das.

Ja, mathematisch korrekt wäre $\begin{align*} \int \! \frac {1}{U_C} \, \mathrm{d}U_C= \ln (|{U_C}|) \end{align*}$ .

Zitat:

Hab ich das richtig verstanden das bei t=0, uC = 100V ist ?

Das gilt nur für Aufgabenteil c).
$\begin{align*} K=U_0 \end{align*}$ ist aber schon richtig. Freude

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