Homogenitätsgrad bei Funktion mit Nebenbedingung

06.06.2015, 01:16	Max41	Auf diesen Beitrag antworten »
Homogenitätsgrad bei Funktion mit Nebenbedingung Meine Frage: Hallo, ich muss für die mikroökonomische Ausgabenfunktion den Homogenitätsgrad von 1 nachweisen. Die Funktion besteht aus einem Minimierungsproblem mit Nebenbedingung. Ich bin mir leider nicht sicher wie ich den Proportinalitätsfaktor in die Nebenbedingung einbinden soll. Würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Die Funktion so aus: $\begin{eqnarray} <br /> e(\textbf{p},u)=\min\limits_{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n_+} \textbf{p} \cdot \textbf{x} \qquad s.t. \qquad u(\textbf{x}) \geq u <br /> \end{eqnarray}$ Homogenität vom Grad 1 bedeutet demnach: $\begin{eqnarray} <br /> e(tp, tu) = t \cdot e(p,u)<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Vorschlag zur linken Seite: $\begin{eqnarray} <br /> e(t\textbf{p},tu)= [\min\limits_{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n_+} t \textbf{p} \cdot \textbf{x} \qquad s.t. \qquad tu(\textbf{x}) \geq tu] <br /> \end{eqnarray}$ Ich denke mal, dass ich das t als Konstante vor das "min(..)" schieben darf, oder? Bei der rechten Seite bin ich mir total unschlüssig wie, oder ob, ich das t in die Nebenbedingung mitnehme. Ich habe viel dazu gegoogelt aber einfach nichts gefunden. Ich würde das t reinmachen, da es ja auch möglich ist, das Optimierungsproblem mit Nebenbedingung in eine Lagrange zu packen. Würde man die gesamte Lagrange dann mit t durchmultiplizieren wäre die Nebenbedingung ja auch betroffen. Also mein Vorschlag: $\begin{eqnarray} <br /> t \cdot e(p,u) = [t \min\limits_{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n_+} \textbf{p} \cdot \textbf{x} \qquad s.t. \qquad tu(\textbf{x}) \geq tu] <br /> \end{eqnarray}$ Damit wäre die Gleichheit der beiden bewiesen. Ich bin mir wie gesagt nur sehr unsicher. Danke schonmal!
06.06.2015, 01:35	Max 41	Auf diesen Beitrag antworten »
hab gerade gemerkt dass ich mich verlesene habe ... Die Homogenität soll nur in p und nicht in (p,u) bewiesen werde, kann geschlossen werden.

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