Verständnisprobleme Zufallsvariablen, Normalverteilung, Bedingte Erwartung

06.06.2015, 11:41	Laura1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisprobleme Zufallsvariablen, Normalverteilung, Bedingte Erwartung Meine Frage: Hallo liebe Community, ich bin gerade über ein Verständnisproblem gestolpert. Es geht konkret um diesen Fall: Aus $\begin{eqnarray} Pr[\mu_{i} + \sigma_{i}W_{i}<\lambda_{i}+\gamma_{i}U_{i}] \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} p_{i}=N(\frac{\lambda_{i}-\mu_{i}}{\sqrt{\sigma_{i}^2+\gamma_{i}^2}}) \end{eqnarray}$ Dazu noch ein kurzer Hinweis: Beide Seiten der Ungleichung sollen Zufallsvariablen darstellen, welche normalverteilt sind. $\begin{eqnarray} \mu_{i} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ sind hierbei der Mittelwert der jeweiligen Verteilung und $\begin{eqnarray} \sigma_{i} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \gamma_{i} \end{eqnarray}$ stellen die Standardabweichung dar. $\begin{eqnarray} W_{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_{i} \end{eqnarray}$ sind standardnormalverteilt und unabhängig voneinander. N(.) gibt weiterhin die kumulierte Normalverteilungsfunktion an. Ich verstehe hier leider wirklich nicht, wie man auf $\begin{eqnarray} p_{i} \end{eqnarray}$ kommt. Zweite Frage: $\begin{eqnarray} E[W_{i}1_{{\mu_{i} + \sigma_{i}W_{i}<\lambda_{i}+\gamma_{i}U_{i}}}]<br /> = E[W_{i}E(1_{{\mu_{i} + \sigma_{i}W_{i}<\lambda_{i}+\gamma_{i}U_{i}}}\|W_{i})]<br /> =E[W_{i}N(\frac{\lambda_{i}-\mu_{i}-\sigma_{i}W_{i}}{\gamma_{i}}]<br /> =-\frac{\sigma_{i}}{\sqrt{\sigma_{i}^2+\gamma_{i}^2}}n(\frac{\lambda_{i}-\mu_{i}}{\sqrt{\sigma_{i}^2+\gamma_{i}^2}}) \end{eqnarray}$ wobei nier n(.) die standardnormalverteilte Dichte darstellt. Ich weiß, dass das Thema unschön ist und aus dem Zusammenhang gerissen, aber vlt. sieht ja jemand, wie es geht oder kann mir wenigstens sagen, wo ich nachschauen muss, um die Ansätze nachvollziehen zu können. Noch zu meiner Person: Ich studiere Wirtschaftsingenieurwesen Maschinenbau und wir bearbeiten so etwas in dem Fach Finanzwirtschaft. Ich weiß nicht, ob man so etwas hier auch schreiben darf, aber ich tu es einfach mal. Wer denkt, dass er weiß wie es geht und mir aber hier auf umständliche Art und Weise das nicht erläutern möchte oder noch mehr Infos haben möchte, der kann mich auch gerne über Skype aufklären. Natürlich gegen eine Aufwandsentschädigung. Ansonsten freue ich mich über jeden Kommentar! Viele Grüße Julia Meine Ideen: Ich weiß leider nicht viel zu dem Thema und stehe komplett auf dem Schlauch. Es tut mir sehr Leid.
06.06.2015, 11:46	Laura1990	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisprobleme Zufallsvariablen, Normalverteilung, Bedingte Erwartung Nun noch eine Ergänzung als registrierter Nutzer: Bei Frage 2 verstehe ich lediglich die erste Umformung. Die anderen beiden kann ich leider nicht nachvolziehen. Danke im Voruas!
06.06.2015, 15:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen $\begin{align} X_1\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2) \end{align}$ und $\begin{align} X_2\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) \end{align}$ gilt (a) $\begin{align} X_1+X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) \end{align}$ (b) $\begin{align} tX_1 \sim \mathcal{N}(t\mu_1,t^2\sigma_1^2) \end{align}$ für eine reelle Zahl $\begin{align} t \end{align}$ Aus beidem zusammen kann man insbesondere auch (c) $\begin{align} t_1X_1+t_2X_2 \sim \mathcal{N}(t_1\mu_1+t_2\mu_2,t_1^2\sigma_1^2+t_2^2\sigma_2^2) \end{align}$ für reelle Zahlen $\begin{align} t_1,t_2 \end{align}$ folgern, speziell für standardnormalverteilte $\begin{align} X_1,X_2\sim \mathcal{N}(0,1) \end{align}$ bedeutet dies (c) $\begin{align} t_1X_1+t_2X_2 \sim \mathcal{N}(0,t_1^2+t_2^2) \end{align}$ . Genau das nutzt du jetzt hier: Zu berechnen ist bei dir die Wahrscheinlichkeit $\begin{align} Pr\left[ \mu_i + \sigma_iW_i < \lambda_i + \gamma_i U_i \right] = Pr\left[ {\color{red}\sigma_iW_i-\gamma_iU_i} < \lambda_i-\mu_i \right] = Pr\left[ X < \lambda_i-\mu_i \right] \end{align}$ , wenn wir für letztere Umformung die neue Zufallsgröße $\begin{align} X:= \sigma_iW_i-\gamma_iU_i \end{align}$ definieren. Gmäß (c) mit $\begin{align} t_1=\sigma_i \end{align}$ und $\begin{align} t_2=-\gamma_i \end{align}$ folgt für diese Zufallsgröße die Verteilung $\begin{align} X\sim \mathcal{N}(0,\sigma_i^2+\gamma_i^2) \end{align}$ . Der Rest ist nun eine einfache Wahrscheinlichkeitsberechnung einer Normalverteilung - sowas kennst du doch? ------------------------------- Die zweite Aussage ist etwas kniffliger und erfordert schon ordentliche Kenntnisse zur bedingten Erwartung. Zunächst mal die erste Gleichheit: Es ist $\begin{align} E[Z] = E[E[Z \mid \mathcal{A}]] \end{align}$ für beliebige Zufallsgrößen und ebenso beliebige Sigma-Algebren $\begin{align} \mathcal{A} \end{align}$ , demnach ist $\begin{align} E\left[W_i1_{\mu_i+\sigma_iW_i<\lambda_i+\gamma_iU_i}\right] = E\left[E\left[W_i1_{\mu_i+\sigma_iW_i<\lambda_i+\gamma_iU_i} \mid W_i\right]\right] \qquad (1) \end{align}$ . Außerdem gilt $\begin{align} E[Y\cdot Z \mid \mathcal{A}] = Y\cdot E[Y\cdot Z \mid \mathcal{A}] \end{align}$ für $\begin{align} \mathcal{A} \end{align}$ -messbare Zufallsgrößen $\begin{align} Y \end{align}$ , das nutzen wir hier zur "Abtrennung" der offensichtlich von Haus aus $\begin{align} \sigma(W_i) \end{align}$ -messbaren Zufallsgröße $\begin{align} W_i \end{align}$ , es ist also $\begin{align} E\left[W_i1_{\mu_i+\sigma_iW_i<\lambda_i+\gamma_iU_i} \mid W_i\right] = W_iE\left[1_{\mu_i+\sigma_iW_i<\lambda_i+\gamma_iU_i} \mid W_i\right] \qquad (2) \end{align}$ (1) und (2) ergibt den ersten Teil $\begin{align} E\left[W_i1_{\mu_i+\sigma_iW_i<\lambda_i+\gamma_iU_i}\right] = E\left[W_iE\left[1_{\mu_i+\sigma_iW_i<\lambda_i+\gamma_iU_i} \mid W_i\right] \right] \end{align}$ . Für das zweite Gleichheitszeichen nutzt man die für $\begin{align} w=W_i(\omega) \end{align}$ gültige Umformung $\begin{align} E\left[1_{\mu_i+\sigma_iW_i<\lambda_i+\gamma_iU_i} \mid W_i\right](\omega) = E\left[1_{\mu_i+\sigma_iw<\lambda_i+\gamma_iU_i}\right] = E\left[1_{\frac{\mu_i-\lambda_i+\sigma_iw}{\gamma_i}<U_i}\right] = 1 - N\left( \frac{\mu_i-\lambda_i+\sigma_iw}{\gamma_i}\right) = N\left( \frac{\lambda_i-\mu_i-\sigma_iw}{\gamma_i}\right) \end{align}$ , also wieder mit der Zufallsgröße geschrieben $\begin{align} E\left[1_{\mu_i+\sigma_iW_i<\lambda_i+\gamma_iU_i} \mid W_i\right] = N\left( \frac{\lambda_i-\mu_i-\sigma_iW_i}{\gamma_i}\right) \end{align}$ . Das letzte Gleichheitszeichen ist mir noch nicht klar.
06.06.2015, 17:51	Laura1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, schonmal danke für die ausführliche Erklärung! Ja, mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,\sigma_i^2+\gamma_i^2)<br /> \end{eqnarray}$ kann ich etwas anfangen. So habe ich das damals in den Mathegrundlagen kennengelernt und kann das in die Funktion von $\begin{eqnarray} \mathcal{N} \end{eqnarray}$ einsetzen. Werde mich da gleich mal dran setzen und berechnen. --------------------------------------------------- Ist die erste Gleichung nicht auch die sogenannte Turmeigenschaft oder verwechsel ich hierbei etwas? Bei der zweiten Gleichung habe ich alles verstanden! Super, danke dir! Ich hatte mir schon gedacht, dass ich hierbei einfach nur bei der Indikatorfunktion nach U_{i} umstellen muss, aber bin an der simplen Algebra gescheitert. Zu der dritten Gleichung ist meine Überlegung, ob man hier nicht "einfach" wirklich nur den Erwartungswert berechnen muss? Also mit Integral von -unendlich bis +unendlich? Und die Werte der Normalverteilung in die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} dt \end{eqnarray}$ für den Wert x einsetzen? Ich glaube nur, dass das wirklich nicht schön wird, sondern sehr umfangreich und unschön. :/ Aber das könnte zumindest ein Ansatz sein, oder? Wobei ich nicht glaube, dass ich das nachrechnen kann; aber immerhin wüsste ich dann wie man es rein theoretisch machen müsste. Ich bin glücklich über jegliches Verständnis bei solch einem Thema! Viele Grüße Laura
06.06.2015, 18:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, der letzte Schritt ist mir inzwischen auch klar, es ist alles in allem eine ziemlich üble lange Rechnung: Es ist wegen der Standardnormalverteilung von $\begin{align} W_i \end{align}$ $\begin{align} I := E\left[ W_i N\left( \frac{\lambda_i-\mu_i-\sigma_iW_i}{\gamma_i}\right) \right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty} w\cdot N\left( \frac{\lambda_i-\mu_i-\sigma_i w}{\gamma_i}\right)\cdot n(w) ~ \dd w \end{align}$ Nun partielle Integration $\begin{align} \int u'v ~ \dd w = uv - \int uv' ~ \dd w \end{align}$ , und zwar mit $\begin{align} u(w)=n(w) \end{align}$ sowie $\begin{align} v(w) = -N\left( \frac{\lambda_i-\mu_i-\sigma_i w}{\gamma_i}\right) \end{align}$ . Denn dann ist $\begin{align} u'(w) = -w\cdot n(w) \end{align}$ und $\begin{align} v'(w) = \frac{\sigma_i}{\gamma_i}\cdot n\left( \frac{\lambda_i-\mu_i-\sigma_i w}{\gamma_i}\right) \end{align}$ , und man erhält $\begin{align} I = \left[ -n(w)N\left( \frac{\lambda_i-\mu_i-\sigma_i w}{\gamma_i}\right) \right]_{w=-\infty}^{\infty} - \frac{\sigma_i}{\gamma_i} \int\limits_{-\infty}^{\infty} n(w)\cdot n\left( \frac{\lambda_i-\mu_i-\sigma_i w}{\gamma_i}\right) ~ \dd w = -\frac{\sigma_i}{2\pi\gamma_i} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left( - \frac{w^2}{2}- \frac{(\lambda_i-\mu_i-\sigma_i w)^2}{2\gamma_i^2} \right) ~ \dd w \end{align}$ Jetzt muss man im Exponentialterm die Summe der beiden in $\begin{align} w \end{align}$ quadratischen Terme zu einem quadratischen Term ergänzen, was sich dann wiederum "wegintegrieren" lässt... Vielleicht ist es besser, man macht erstmal generell die "Nebenrechnung" $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} n(w)\cdot n(a+bw) ~ \dd w \end{align}$ für beliebige reelle Konstanten a,b.
06.06.2015, 19:43	Laura1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, du meinst also diesen Ausdruck: $\begin{eqnarray} -\frac{\sigma_i}{2\pi\gamma_i} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left( - \frac{w^2}{2}- \frac{(\lambda_i-\mu_i-\sigma_i w)^2}{2\gamma_i^2} \right) ~ \dd w = -\frac{\sigma_i}{2\pi\gamma_i} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left( - \frac{\gamma_i^2w^2+(\lambda_i-\sigma_i w- \mu_i)^2}{2\gamma_i^2} \right) ~ \dd w \end{eqnarray}$ ? Wie kann ich hier nun etwas wegintegrieren? Viele Grüße Laura
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06.06.2015, 19:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nicht weit genug: Mit einem quadratischen Term meine ich sowas wie $\begin{align} \exp\left( -\frac{1}{2} (p(w-q)^2+r) \right) \end{align}$ mit Konstanten $\begin{align} p,q,r \end{align}$ , d.h. nur noch ein $\begin{align} w \end{align}$ im gesamten Term (Stichwort: quadratische Ergänzung). Weil dann ist mit Substitution $\begin{align} t:=\sqrt{p}(w-q) \end{align}$ und somit $\begin{align} \dd t = \sqrt{p}~\dd w \end{align}$ $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{1}{2} (p(w-q)^2+r) \right) ~ \dd w = \frac{1}{\sqrt{p}} \exp\left( -\frac{r}{2} \right) \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{t^2}{2} \right) ~ \dd t = \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{p}} \exp\left( -\frac{r}{2} \right) \end{align}$ .

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