Integration von Funktionen in Parameterform

06.06.2015, 14:39

mkay31

Integration von Funktionen in Parameterform

Meine Frage:
Hallo an alle,
ich bin gerade dabei für eine Klausur zu lernen und verstehe nicht ganz wie man auf die Grenzen bei Integralen in Parameterform kommt.

Meine Ideen:
In unserem Skript steht folgende Formel
$\begin{eqnarray*} \int_{x1=a}^{x2=b} \! f(x) \, dx =\int_{t1}^{t2} \! y(t)*x'(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Als Beispiel habe ich folgende Aufgabe mit Lösung:

$\begin{eqnarray*} x(t)=cos^2(t),y(t)=sin^3(t),-\pi /2\leq t\leq \pi /2 \end{eqnarray*}$

Auf der Skizze sieht man das die Astroide rechts bei x=1,y=0 anfängt und dann nach links bis x=0,y=1 geht( und gespiegelt nochmal unter der x-Achse)

Ich würde jetzt sagen das die Grenzen b=1 und a=0 sind.

In der Lösung steht folgendes:

$\begin{eqnarray*} A=2*\int_{0}^{1} \! y \, dx=2*\int_{\pi /2}^{0} \! y(t)*x'(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Wie kommt man allgemein bei solchen Aufgaben auf die Grenzen die man einsetzten muss? Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann.

06.06.2015, 15:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von mkay31
Wie kommt man allgemein bei solchen Aufgaben auf die Grenzen die man einsetzten muss?

Vielleicht indem man alles wichtige zur Formel liest und nicht nur die Formel

Zitat:

Original von mkay31
In unserem Skript steht folgende Formel
$\begin{eqnarray*} \int_{x1=a}^{x2=b} \! f(x) \, dx =\int_{t1}^{t2} \! y(t)*x'(t) \, dt \end{eqnarray*}$

selbst: Dazu gehört nämlich noch die Info, dass $\begin{align*} (x(t),y(t)) \end{align*}$ die parametrische Darstellung des Funktionsgraphen $\begin{align*} y=f(x) \end{align*}$ ist, mit Startpunkt $\begin{align*} x(t_1)=x_1=a \end{align*}$ und Endpunkt $\begin{align*} x(t_2)=x_2=b \end{align*}$ . Und letzteres liefert dann auch mit die Information wie $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} t_1 \end{align*}$ , sowie $\begin{align*} b \end{align*}$ und $\begin{align*} t_2 \end{align*}$ zusammenhängen.

06.06.2015, 16:02

mkay31

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Erstmal vielen Dank.
Der Skizze kann man entnehmen das eine Nullstellen bei x1=1 ist.
Aber wenn ich nun mit deinem Ansatz "mit Startpunkt x(t1)=x1=a" x(1) ausrechne komme ich auf 0,29 und nicht pi/2.

06.06.2015, 16:04

HAL 9000

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Bei dir ist $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ , es ist also ein $\begin{align*} t_1 \end{align*}$ gesucht mit $\begin{align*} x(t_1) = \cos^2(t_1)\stackrel{!}{=}0 \end{align*}$ . Wie du da auf $\begin{align*} t_1=0.29 \end{align*}$ kommst, ist mir unbegreiflich. unglücklich

06.06.2015, 16:21

mkay31

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hmm,
also ist a=0 und b=1.

Wenn ich das richtig verstehe, schaue ich dann wo der Ausdruck x(t)=0 wird um t1 zu bestimmen und wo x(t)=1 wird habe ich mein t2.

Damit ist t1 also pi/2 und t2=0. Das macht auch soweit Sinn.

Versuche ich nun mit der gleichen Methode die Grenzen einer anderen Aufgabe zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} x(t)=t^2-1,y(t)=t^3-t \end{eqnarray*}$

Wobei a=-1 und b=0 sind

x(t)=-1 => t1=0
x(t)=0 => t2= 1 und -1

Demnach hätte ich 3 Werte für die Grenzen?!

06.06.2015, 17:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von mkay31
Demnach hätte ich 3 Werte für die Grenzen?!

Das kommt drauf an, welche Funktion $\begin{align*} y=f(x) \end{align*}$ du da eigentlich von a=-1 bis b=0 betrachten willst!!!

Parametrischer Plot von (x(t),y(t)) für t=0..1 sowie für t=-1..0 :

Wenn $\begin{align*} (x(t),y(t)) \end{align*}$ für $\begin{align*} t\in I \end{align*}$ tatsächlich eine Funktion $\begin{align*} y=f(x) \end{align*}$ beschreiben soll, dann darf es keine verschiedenen Werte $\begin{align*} t_1,t_2 \end{align*}$ mit $\begin{align*} x(t_1)=x(t_2) \end{align*}$ geben! D.h., die Funktion $\begin{align*} x:\;I\to \mathbb{R} \end{align*}$ muss zwingend injektiv sein!

Das ist für dein $\begin{align*} x(t)=t^2-1 \end{align*}$ bezogen auf $\begin{align*} I=\mathbb{R} \end{align*}$ nicht der Fall! Also schau nochmal nach, ob da nicht irgendeine Intervalleinschränkung für die $\begin{align*} t \end{align*}$ angegeben ist, die du "vergessen" hast anzugeben.

07.06.2015, 12:29

mkay31

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Also da steht als Intervall -1<=t<=1.

Demnach hätte ich doch wieder die Möglichkeit 3 Werte für die Grenzen zu nehmen, da t2=-1 und 1 ist und somit im Intervall liegt

11.06.2015, 19:37

mkay31

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Hättest du Lust mir nochmal auf die Sprünge zu helfen?

Wenn ich nun die Fläche deines rechten Plot's bestimmen möchte , also oberhalb der X Achse,dann würde ich sagen mein a ist -1 und mein b ist 0. Will ich nun die entsprechenden t1 und t2 Grenzen berechnen und setze x(t) = a kommt dabei 0 heraus, also mein t1.

Für t2 muss ich doch nun x(t)=b setzen. Dabei kommen ja zwei Werte raus 1 und -1 die beide im Intervall liegen. Gibt es keine Faustregel mit der ich weiß welche Grenzen ich nehmen muss?

Die Lösung dazu sieht wie folgt aus
$\begin{eqnarray*} A=2*\int_{-1}^{0} \! y \, dx =2*\int_{0}^{-1} \! y(t)*x'(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Warum wurden die Grenzen vertauscht?

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